No.3ベストアンサー
- 回答日時:
|z-a|=r
↓両辺をrで割ると
|(z-a)/r|=1
複素数(z-a)/rに対して
(z-a)/r=x+iy
となる実数x,yがある
1=|(z-a)/r|=|x+iy|=√(x^2+y^2)
だから
1=√(x^2+y^2)
1=x^2+y^2
だから
x=cosθ,y=sinθとなるθ(0≦θ≦2π)があるから
(z-a)/r=x+iy=cosθ+isinθ
↓e^(iθ)=cosθ+isinθだから
(z-a)/r=e^(iθ)
↓両辺にrをかけると
∴
z-a=re^(iθ)
No.1
- 回答日時:
一行目の式が二行目の式へ変形できるかというと、やや微妙。
一行目の式が成立しているという条件下に
二行目の式を満たす θ が存在する...
という意味では変形できるけれども。
今回の質問文だけからは読み取れないのだが、
これまでに連投されてきた膨大な質問たちの趣旨から汲むと、
言いたいことは、与えられた定数 a,r に対して
一行目の式を満たす z の集合が、
実数 θ に対して二行目の式で表される z と一致する理由
を考えているんだろうなとは思われる。
その話題でいいのであれば、その理由は、
|w|=1 を満たす複素数 w が w=e^(iθ), θ∈実数
であるからと言えるだろう。 で、これが何故かと言えば、
オイラーの公式 e^(iθ)=(cosθ)+(sinθ)i に尽きる。
w=x+yi, x,y∈実数 と置けば、
x^2+y^2=1 と (x,y)=(cosθ,sinθ), θ∈実数
が同値だから。
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