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数学の整数の問題なのですが、408と221の最大公約数を(408,221)と表すとき、(408,221)=408× s + 221× t を満たすsとtを2組求めよ、と言う問題がわかりません。ユークリッドの互助方を用いて(408,221)=17となり、ユークリッドの互助方の過程の式を用いる方法でs=6, t= -11までは求めることができました。ですが、もう一組の求め方がわかりません。わかる方がいましたら解説お願いします。

gooドクター

A 回答 (3件)

408× s + 221× t =17…①


408×6 + 221×(-11)=17…②

①-②
408(s-6)+221(t+11)=0
両辺を17で割ると、
24(s-6)+13(t+11)=0

これより、
s-6=13k
t+11=-24k

よって、
s=13k+6
t=-24k-11

k=0 のとき、s=6 , t= -11
その他としては、例えば、k=-1 とすると、
s= -7 , t=13
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408=17x24, 221=17x13 ですから、


(408, 221)=408s+221t=17
つまり 17*24s+17*13t=17
両辺 17 で割って、
24s+13t=1 。
24*6+13*(-11)=1 ですから
辺々引き算して、
24(s-6)=-13(t+11) 。
24 と 13 は 互いに素だから、
k を任意の整数として
s-6=13k → s=13k+6 。
t+11=-24k → t=-24k-11 。
k=0 のとき (s, t)=(6, -11) 。
K=1 のとき (s, t)=(19, -35) 。
24*19+13*(-35)=456-455=1 。
2つでも3つでも 無数の答えがあります。
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408*(221/17)+221*(-408/17)=0


ですね。
それぞれの()の中をs,tに加えてみればよいでしょう。
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