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なぜベクトルの座標から=で内積の式が導けるのでしょうか?
原理を教えてください。

「なぜベクトルの座標から=で内積の式が導け」の質問画像
gooドクター

A 回答 (4件)

コーシー・シュワルツの証明のとこで


ミスプリがありました。
訂正しなくても、自分で解るとは思うけど...

実変数 t の関数 f(t)=|tx+y|^2 を考える。
f(t)=(tx+y)・(tx+y)=(x・x)t^2+2(x・y)t+(y・y)
と展開できるが、常に正または 0 の値をとるので
判別式が 4(x・x)^2 - 4(x・x)(y・y) ≦ 0 になる。
すなわち、(x・y)^2 ≦ |x|^2 |y|^2 である。
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こんどは、この質問を連投することしたんですか?


https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12273568.html

前回書いたように、ベクトルの長さやなす角を定義するには
内積を最初に定義します。実ベクトル空間の内積の定義は
次のようなものです。

実ベクトル空間 V の内積 ・ とは
以下の公理を満たすもののことである。
(0) x,y∈V に対して、正または 0 の実数値を与える。
(1) x・x=0 ならば x=0 である。
(2) 任意の x,y∈V について x・y=y・x が成り立つ。
(3) 任意の x,y,z∈V と任意の実数 a,b について
  (ax+by)・z=a(x・z)+b(y・z) が成り立つ。

例えば、V が有限次元実ベクトル空間の場合に、
対称行列で固有値がどれも正なもの A をひとつとって
x・y=(y^T)Ax と定義すれば、これは上記の公理を満たしています。
A が単位行列の場合が有名ですね。

V が無限次元ベクトル空間であっても、いろいろの方法で
内積が定義できる場合があります。

さて、内積が定義されると、x・x は非負実数なので
任意のベクトル x に対して √(x・x) が計算できます。
この値を「xの長さ」と呼び、|x| と書きます。
これが、ベクトルの長さの定義です。

このように定義したベクトルの長さに関して、
次のような定理が成り立ちます。

任意のベクトル x,y について
(x・y)^2 ≦ |x|^2 |y|^2 が成り立つ。

この式は、コーシー・シュワルツの不等式と呼ばれ、
内積の性質として基本的なものです。
次のように証明できます。

実変数 t の関数 f(t)=|tx+y|^2 を考える。
f(t)=(tx+y)・(tx+y)=(x・x)t^2+2(x・y)t+(y・y)
と展開できるが、常に正または 0 の値をとるので
判別式が 4(x・x)^2 - 4(x・x)(y・y) ≧ 0 になる。
すなわち、(x・y)^2 ≦ |x|^2 |y|^2 である。

この定理より、x,y がどちらも 0 でないときは
-1 ≦ (x・y)^2 /{ |x|^2 |y|^2 } ≦ 1 となり、
(x・y)^2 /{ |x|^2 |y|^2 } = cosθ であるような
実数 θ を考えることができます。この θ を
ベクトル x と y の「成す角」と呼びます。
これが、ベクトルが成す角の定義です。

中学校で最初にベクトルを学ぶとき、
ベクトルは平面または3次元空間上の矢印である
と教わります。2次元と3次元の場合には、その方法で
ベクトルの成す角を図形的な直感によって定義する
ことができますが、4次元以上のベクトル空間では
同じことはできません。4次元の矢印が成す角なんて
誰も見たことがないのですから。
一般のベクトル空間での、内積、長さ、成す角の定義は
上記のように行います。

以上を踏まえて、今回質問の点は、
「ベクトルの成す角の定義から自明」ということになります。
θ を、その式が成り立つようなものとして定義したのだから。
内積の座標計算から導いたわけじゃないんですよ。
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(a,b)=a₁b₁+a₂b₂


|a|²=a₁²+a₂²
|b|²=b₁²+b₂²

すると
|b-a|²=(b₁-a₁)²+(b₂-a₂)²=a₁²+a₂²+b₁²+b₂²-2(a₁b₁+a₂b₂)
=|a|²+|b|²-2(a₁b₁+a₂b₂)=|a|²+|b|²-2(a,b)

余弦定理から
2|a||b|cosθ=|a|²+|b|²-|b-a|²=2(a,b)
となり、与式を得る。
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その変態じみた式、どこから拾ってきたのか知らんが、その表記なら


  (a↑,a↑)
は「ベクトルの座標」じゃなく、内積を表す記号。高校数学だと

  a↑・b↑= |a↑||b↑|cosθ
  a↑・a↑= |a↑||a↑|cos0 = |a↑|^2

と書かれることが普通のはず。平面ベクトルを

  a↑= (a1,a2)
  b↑= (b1,b2)

のように 直交「座標」で表記したとき

  a↑・b↑= a1b1 + a2b2

である。フーリエ解析のように関数 f(x)、g(x) を無限次元のベクトルとして扱うときには、内積は

  (f(x),g(x))
  <f(x),g(x)>

のように表記されることが多い。
 なお、内積は導くものではなく、たとえば線形空間に内積を導入したいとき定義するものである。定義は内積の公理を満たしていればなんでもよい。
 詳細は線形代数の本でベクトル空間の章を読むか、「計量ベクトル空間」でググる。
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