二次曲線と軌跡 (1)放物線y^2=4x 上の点P(X,Y)における接線が、y^2=-4xと異なる二

二次曲線と軌跡
(1)放物線y^2=4x 上の点P(X,Y)における接線が、y^2=-4xと異なる二点で交わる時、その2点を結ぶ線分の中点Mの座標をYで表せ。

(2)Pが放物線y^2=4x 上を動く時、Mの描く図形の方程式は？ これらを教えて頂けませんか？

No.4 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/03/26 05:30

(1) 2つの放物線のグラフをかきます。

放物線 y²=4x 上の点(0,0) における接線は、x=0（y軸）なので、放物線 y²=-4x と異なる2点では交わりません。よって、ｘ≠0 , y≠0 として、接線を考えます。

y²=4x
ｘで微分して、
2yy'=4
y≠0 より、
y'=2/y

点Ｐ(X,Y) における接線は、
y－Y=(2/Y)(x－X)
y=(2/Y)x－(2/Y)X+Y………①

点Ｐ(X,Y) は 放物線 y²=4x 上の点なので、
Y²=4X
X=Y²/4　………②

②を①に代入
y=(2/Y)x－(2/Y)(Y²/4) + Y
=(2/Y)x－ Y/2 + Y
=(2/Y)x + Y/2………③

この接線と放物線 y²=-4x………⓸ の交点を求めます。
③を⓸に代入して、
{(2/Y)x + Y/2}²= -4x
(4/Y²)x² + 2x + Y²/4= -4x
(4/Y²)x² + 6x + Y²/4=0
両辺に 4Y² をかけて、
16x² + 24Y²x + Y⁴=0

２つの交点のｘ座標をそれぞれ α、βとすると解と係数の関係より、
α+β= - 24Y²/16= - (3/2)Y²

中点Ｍのｘ座標は、
x=(α+β)/2= - (3/4)Y²

y座標は、③に代入して、
y=(2/Y){-(3/4)Y²} + Y/2
= - (3/2)Y + Y/2
= - Y

したがって、
M( - (3/4)Y² , - Y)（ただし、Y≠0）

(2)
(1)　より、
x= - (3/4)Y²
y= - Y

この2つの式よりYを消去して、Mの描く図形の方程式は、
x= - (3/4)y²
ただし、ｘ≠0 , y≠0（原点を除く）

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/03/25 13:28

点P(X,Y) の座標は大文字・小文字で変数名と紛らわしいので P(a, b) で書きます。

(1) 放物線 y^2 = 4x 上の点 P(a, b) における接線の傾きは、
　y = ±2√x
なので
　y' = ±1/√x
より、a≠0 のとき
　y'(a) = ±1/√a
であり、
b > 0 のとき接線の傾きは 1/√a
b < 0 のとき接線の傾きは -1/√a
になります。

b > 0 のとき接線の方程式を
　y = (1/√a)x + c
と書くと、これが P(a, b) を通るので
　b = (1/√a)a + c
→　c = b - √a
よって
　y = (1/√a)x + b - √a　　　　①

b < 0 のとき接線の方程式を
　y = -(1/√a)x + d
と書くと、これが P(a, b) を通るので
　b = -(1/√a)a + d
→　d = b + √a
よって
　y = -(1/√a)x + b + √a　　　②

(i) b > 0 のとき、①と y^2 = -4x との交点は、y に①を代入してもよいが、計算が面倒そうなので、①を
　x = (√a)y + a - b√a
として代入し
　y^2 = -4[(√a)y + a - b√a]
→　y^2 + (4√a)y + 4a - 4b√a = 0　　　　③
従って、この解は、一般解の公式から
　y = -2√a ± √(4a - 4a + 4b√a) = -2√a ± 2√(b√a)

それに対する x 座標は
y = -2√a + 2√(b√a) のとき
　x = (-1/4)[-2√a + 2√(b√a)]^2 = -[a - 2√(ab) + b√a] = -a - b√a + 2√(ab)
y = -2√a - 2√(b√a) のとき
　x = (-1/4)[-2√a - 2√(b√a)]^2 = -[a + 2√(ab) + b√a] = -a - b√a - 2√(ab)

従って、交点の座標は
　(-a - b√a + 2√(ab), -2√a + 2√(b√a))
　(-a - b√a - 2√(ab), -2√a - 2√(b√a))

その中点 M の座標は
　(-a - b√a, -2√a)

題意は「b だけで表記せよ」ということなので
　a = (1/4)b^2
で置き換えて
　-a - b√a = -(1/4)b^2 - (1/2)b^2 = -(3/4)b^2
　-2√a = -b
よって、中点 M の座標は
　(-(3/4)b^2, -b)

さらに問題文の表記 b=Y に戻して
　(-(3/4)Y^2, -Y)

（別解）中点の座標だけを求めればよいのなら、③の解を p, q (p>q) とすれば、
　p + q = -4√a
　pq = 4a - 4b√a
中点の y 座標は (p + q)/2 なので、中点の y 座標は
　(p + q)/2 = -2√a

p, q に対する x 座標は
　 -(1/4)p^2, -(1/4)q^2
なので、その中点の x 座標は
　[-(1/4)p^2 - (1/4)q^2]/2 = -(1/8)(p^2 + q^2)
= -(1/8)[(p + q)^2 - 2pq]
= -(1/8)[16a - 8a + 8b√a]
= -a - b√a

よって、中点の座標は
　(-a - b√a, -2√a)
以下、Y のみの表記にするのは上記と同じ。


(ii) b < 0 のときも同様にして、
　x = -(√a)y + a + b√a
として代入し
　y^2 = -4[-(√a)y + a + b√a]
→　y^2 - (4√a)y + 4a + 4b√a = 0　　　　④
従って、この解は、一般解の公式から
　y = 2√a ± √(4a - 4a - 4b√a) = 2√a ± 2√(-b√a)

それに対する x 座標は
y = 2√a + 2√(-b√a) のとき
　x = (-1/4)[2√a + 2√(-b√a)]^2 = -[a + 2√(-ab) - b√a] = -a + b√a - 2√(-ab)
y = 2√a - 2√(-b√a) のとき
　x = (-1/4)[2√a - 2√(-b√a)]^2 = -[a - 2√(-ab) - b√a] = -a + b√a + 2√(-ab)

従って、交点の座標は
　(-a + b√a - 2√(-ab), 2√a + 2√(-b√a))
　(-a + b√a + 2√(-ab), 2√a - 2√(-b√a))

その中点の座標は
　(-a + b√a, 2√a)

題意は「b だけで表記せよ」ということなので
　a = (1/4)b^2
で置き換えて、√(b^2) = -b となることに注意して
　-a + b√a = -(1/4)b^2 - (1/2)b^2 = -(3/4)b^2
　2√a = -b
よって、中点 M の座標は
　(-(3/4)b^2, -b)

さらに問題文の表記 b=Y に戻して
　(-(3/4)Y^2, -Y)


（別解）中点の座標だけを求めればよいのなら、④の解を s, t (s>t) とすれば、
　s + t = 4√a
　st = 4a + 4b√a
中点の y 座標は (s + t)/2 なので、中点の y 座標は
　(s + t)/2 = 2√a

s, t に対する x 座標は
　 -(1/4)s^2, -(1/4)t^2
なので、その中点の x 座標は
　[-(1/4)s^2 - (1/4)q^2]/2 = -(1/8)(s^2 + t^2)
= -(1/8)[(s + t)^2 - 2st]
= -(1/8)[16a - 8a - 8b√a]
= -a + b√a

よって、中点の座標は
　(-a + b√a, 2√a)

上記 (i)(ii) の結果より、中点 M の座標は、Y の正負に係わらず
　(-(3/4)Y^2, -Y)
となる。


(2) 中点の座標は
　(-(3/4)Y^2, -Y)
ですから、
　x = -(3/4)Y^2
　y = -Y
とおけば
　x = (-3/4)y^2
となり、これが M の描く軌跡になります。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/03/25 12:51

y=0における接線はy^2=-4xと異なる二点で交わらないから

接点の座標についてy≠0
y^2=4x
の両辺をxで微分すると
2yy'=4 ←←←y²のｘでの微分は次の通り
　　　　　　　z=y²とおくと
　　　　　　　dz/dy=(y²)'=2y
　　　　　　　(d/dx)y²=dz/dx=(dz/dy)(dy/dx)=2y・y'
ゆえに　y'=4/(2y)=2/y
このことから　点P(X,Y)における接線の傾きは　2/Y
従って　Pにおける接線の方程式は
y=(2/Y)(x-X)+Y
⇔Yy=2(x-X)+Y²
⇔-2x=Y²-Yy-2X…①
これが第二の放物線と2交点を持つなら①をy^2=-4xへ代入して
y²=2Y²-2Yy-4X
⇔y²+2Yy-2Y²+4X=0
また、Pはy^2=4x上なんで　Y^2=4X
→y²+2Yy-2Y²+Y²=0
これを解けば2交点のy座標が出る
ｘ座標は　y^2=-4xよりだす
こｒでとけるでしょ

面倒なんで(2)は誰かが解いてくれるといいですね・・・

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2021/03/25 11:36

どこが どの様に 分からないのですか。

y²=4x は グラフに書くと どんなになるか 分かりますね。
y=(1/4)x² のグラフの x軸と y軸とを 入れ替えたものですね。
y²=4x と y²=-4x は y軸に対して対称な グラフですね。
接線の求め方は 分かりますね。
この辺から、先ず やってみましょう。
行き詰ったら 補足で 追加質問して。
（私は 今日は ちょっと無理ですが）