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空間の3点A(1,2,3)、B(7,8,10)、C(2,4,5)に対し、
∠BACの二等分線とBCとの交点をMとする。
(1)Mの座標を求めよ。

(2)∠BACの二等分線の方程式を求めよ。

これらを教えていただけませんか?

質問者からの補足コメント

  • 二等分線の性質より
    BA:AC=BM:MC
    BA^2=(7−1)^2+(8−2)^2+(10−3)^2=36+36+49=121よりBA=11
    AC^2=(2−1)^2+(4−2)^2+(5−3)^2=1+4+4=9よりAC=3

    これより11:3=BA:AC=BM:MCだから
    MC=3/(11+3)✕BC=3BC/14

    ここで、(7,8,10)−(2,4,5)=(5,4,5)であり、
    BCの式は、B(7,8,10)、C(2,4,5)を通るから、定数kに対して
    (2,4,5)+k(5,4,5)
    k=1のときB,k=0のときCに一致するから、
    Mに一致するのはk=3/14のとき
    よって、Mの座標は
    (2,4,5)+3/14✕(5,4,5)
    =(2,4,5)+(15/14,6/7,15/14)
    =(43/14,34/7,85/14

    ここまではできました。

      補足日時:2021/03/29 19:16
gooドクター

A 回答 (7件)

内角の2等分線の定理から


AB:AC = BM:CM
から M は簡単に求まります。
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>ここまではできました。


なるほど。

∠BACの二等分線は、線分AMだよね。
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で, M の座標がわかったとしてなにに困っている?

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BM:CM は簡単にわかるので, 余弦定理はなくってもいい. 内分できないとどうにもならんけど.

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小問が(1)(2)の順になってることは


大きなヒントになるんじゃないかな。

M は直線 BC 上の点だから、
位置ベクトルを考えると M の座標は
t(7,8,9) + (1-t)(2,4,5) と置ける。
すると、線分 AB,BC,CA,AM,BM,CM の
長さが t の式で表せる。
次に △ABM,△ACM で余弦定理を考える。
∠AMB + ∠AMC = 180° から
cos∠AMB = - cos∠AMC となって
2本の余弦定理の式から cos が消去できて
t に関する方程式が得られる。
それをとけば、t が決まって M の座標が求まる。

M の座標が求まれば、直線 AM の式は作れる。
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「ベクトル」や「余弦定理」などを理解していますか? 使えますか?



そういった質問者さんの「現状のレベル」や「何がわからなくて質問しているのか」が分からないと回答もできません。

「補足」にそういったものを書いてください。
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>これらを教えていただけませんか?


教えてあげたいので、
Tatusukin さんは、どこまで解いて、どこでつまずいているのかを書いてください。
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