積分の解き方を教えてください

∫[-a~a]√(a^4-x^4)dx=2a^3
という積分は、どのような計算をしているのでしょうか。答えの２a^3に至るまでの途中経過を知りたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/03/28 23:14

訂正

dx=(a/4)u^(-3/4) du
I=(a³/2)∫[0~1]u^(-3/4)√(1-u)dx
=(a³/2)B(1/4,3/2)
=(a³/2)Γ(1/4)Γ(3/2)/Γ(7/4)
=(a³/2)Γ(1/4)(1/2)Γ(1/2)/{(3/4)Γ(3/4)}

=(a³/2)√π (2/3) Γ(1/4)/Γ(3/4)
=(a³/3)√π Γ(1/4)/Γ(3/4)
≒(a³/3)√π 3=a³√π

Γ(1/4)/Γ(3/4)≒3 はWolfram より。

この回答へのお礼

ありがとうございます。どのような計算によって解を求めるのかとても分かりやすかったです。
解が実際には2a^3にはならないですね。

お礼日時：2021/03/29 12:55

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/03/28 23:02

I=∫[-a~a]√(a^4-x^4)dx=2∫[0~a]√(a^4-x^4)dx

x⁴=a⁴uと変換
dx=(a/4)u^(-3/4)
I=(a³/2)∫[0~1]u^(-3/4)√(1-u)dx
=(a³/2)B(-3/4,1/2)
=(a³/2)Γ(-3/4)Γ(1/2)/Γ(-1/4)
=(a³/2)√π {Γ(1/4)/(-3/4)}/{Γ(3/4)/(-1/4)}
=(a³/6)√π Γ(1/4)/Γ(3/4)
≒(a³/6)√π 3=(a³/2)√π

Γ(1/4)/Γ(3/4)≒3 はWolfram より。