教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

(2+√3)^n=an+bn√3でan+1とbn+1をanとbnをもちいてそれぞれ表す方法を教えてください。

gooドクター

A 回答 (4件)

・n=1のとき、


2+√3=a[1]+b[1]√3 より、a[1]=2,b[1]=1
∴a[1]-b[1]√3=2-√3

・n=k のとき、
(2+√3)^k=a[k]+b[k]√3 とおくとき、
(2-√3)^k=a[k]-b[k]√3 が成り立つとする
n=k+1のとき、
(2+√3)^(k+1)=a[k+1]+b[k+1]√3 とおくとき、 ←n=k+1でも、これは条件です
(2-√3)^(k+1)=a[k+1]-b[k+1]√3 であることを示す
(2+√3)^(k+1)=(a[k]+b[k]√3)(2+√3)
=(2a[k]+3b[k])+(a[k]+2b[k])√3
∴a[k+1]=2a[k]+3b[k], b[k+1]=a[k]+2b[k] ―※
(2-√3)^(k+1)=(a[k]-b[k]√3)(2-√3)
=(2a[k]+3b[k])-(a[k]+2b[k])√3
=a[k+1]-b[k+1]√3 (∵※より)
よって、n=k+1 でも成り立つ

以上より、すべてのnについて、
(2+√3)^n=a[n]+b[n]√3 とおくとき、
(2-√3)^n=a[b]-b[n]√3 である

(2+√3)^n=a[n]+b[n]√3・・①
(2-√3)^n=a[n]-b[n]√3・・②
①+②=(2+√3)^n+(2ー√3)^n=2a[n]
a[n]={(2+√3)^n+(2ー√3)^n}/2
a[n+1]={(2+√3)(2+√3)^n+(2-√3)(2ー√3)^n}/2
={2(2+√3)^n+√3(2+√3)^n+2(2ー√3)^n-√3(2-√3)^n}/2
=2a[n]+3b[n]
①-➁=(2+√3)^nー(2ー√3)^n=2√3b[n]
b[n]={(2+√3)^nー(2ー√3)^n}/2√3
b[n+1]={(2+√3)(2+√3)^nー(2-√3)(2ー√3)^n}/2√3
={2(2+√3)^n+√3(2+√3)^n-2(2-√3)^n+√3(2-√3)^n}/2√3
=2b[n]+a[n]
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数学的帰納法から、


(2+√3)^n=a[n]+b[n]√3・・①
(2-√3)^n=a[n]-b[n]√3・・②
①+②=(2+√3)^n+(2ー√3)^n=2a[n]
a[n]={(2+√3)^n+(2ー√3)^n}/2
a[n+1]={(2+√3)(2+√3)^n+(2-√3)(2ー√3)^n}/2
={2(2+√3)^n+√3(2+√3)^n+2(2ー√3)^n-√3(2-√3)^n}/2
=2a[n]+b[n]/3
①-➁=(2+√3)^nー(2ー√3)^n=2√3b[n]
b[n]={(2+√3)^nー(2ー√3)^n}/2√3
b[n+1]={(2+√3)(2+√3)^nー(2-√3)(2ー√3)^n}/2√3
={2(2+√3)^n+√3(2+√3)^n-2(2-√3)^n+√3(2-√3)^n}/2√3
=2b[n]+a[n]
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a[n], b[n] に何か制限を設けないと、


(2+√3)^n = a[n]+b[n]√3 だけでは a[n], b[n] が決まらないので
a[n], b[n] を用いて a[n+1], b[n+1] を表すことはできない。

例えば、「an,bnは有理数」とかの条件を付加するとよいと思う。
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(2+√3)^n=a[n]+b[n]√3


(2+√3)^(n+1)=a[n+1]+b[n+1]√3 …(1)

(2+√3)(2+√3)^n=(2+√3)(a[n]+b[n]√3)
=2a[n]+3b[n]+(a[n]+2b[n])√3 …(2)

(1),(2)より、
a[n+1]=2a[n]+3b[n]
b[n+1]=a[n]+2b[n]
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