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実行列Aで与えられる線形変換R^2→R^2の分類は一般に可能なのでしょうか?
調べてみましたが、見つかりませんでした。

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    回答ありがとうございます。
    標準形の形で分類するということですね。
    調べたところ、作用は①回転②対象移動③せん断④拡大、縮小⑤射影の合成としてとらえられるそうなのですが、本当でしょうか?(これで全部でしょうか?1意的に分類できるのでしょうか?)

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/03/30 20:34
gooドクター

A 回答 (5件)

No.4へのコメントについてです。



> もう少し自分で整理、研究

と仰るので、もしNo.4の話の方向性が合ってるのなら、ヒントとして:斉次座標ってものを使うと、平行移動も含めて行列の掛け算で扱える。すなわち、「原点の呪縛」から解放される。
 それにはまず、2次元平面上の点(x,y)を、「3次元空間(x,y,z)中のz=1の平面上の点」と読み替える。すなわち、(x,y)を(x,y,1)で表す。(実際は縦ベクトルですけど。)
 そして2x2の行列
  A =
    a[1,1]  a[1,2]
    a[2,1]  a[2,2]
を3x3の行列に埋め込んで
  B =
    a[1,1]  a[1,2]  m[1]
    a[2,1]  a[2,2]  m[2]
     0    0    1
とすると、Bは 「z=1の平面上でAの変換をやってから、z=1の平面上でmだけ平行移動する」という変換になるわけ。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2021/04/07 01:03

「2x2実行列と、(合同変換や相似変換のような)図形の操作との対応」というほどのお積りなんでしょうかね。


 ならば行列の分類の前に、まずは操作の分類を考える必要があるだろう。なぜなら、勝手な「①回転②対称移動(「対象」じゃないよ)③せん断④拡大、縮小⑤射影」ができるわけではない。どんな2x2実行列による変換をも受け付けない、原点(0,0)という不動点があるからです。
 「拡大」や「回転」は原点を中心とするものに限定される。また「回転」は「(原点を通る直線に対する)対称移動」2回で表せるから冗長。
 「(原点を通る直線への)射影」は「(原点を「中心」とする)せん断」の極端な場合、と捉えられる。(逆に、「射影」を並べるのなら、「恒等変換(ナニモシナイ)」も入れとかなくちゃ、整合性を欠くんじゃなかろうか。)

 てな話はさておき、「図形の操作」の観点から最も注目すべきポイントは、「平行移動」(「(原点を通らない直線に対する)対称移動」でも同じことだが)は表せない、ということじゃないかな?つまり、2x2実行列だけじゃ中学校の幾何学が成立しないということ。
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この回答へのお礼

皆さん教えていただいてありがとうございます。
行列による変換で原点が必ず不動点になることを忘れておりました。
もう少し自分で整理、研究してみたいと思います。

お礼日時:2021/03/31 19:32

①回転②対象移動③せん断④拡大、縮小⑤射影


の「合成として捉えられる」のですから、
①②③④⑤に分類されるわけではありません。
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分類っていうか、標準化はできるよね。


2×2の実行列 A に対して、適切な行列 P を選べば
(P^-1)AP が
 α 0
 0 β

 λ 1
 0 λ
かのどちらかになるようにできる。
どちらになるかは、 A によって決まっている。
λ は実数で、 α,β はひとつの実係数二次方程式の解。

そこから先の「分類」は、
α,β が実か虚かとか
α,β,λ の正負とか絶対値と 1 との大小とか
規準を設けて好きなように分類すればいい。
この回答への補足あり
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2021/04/07 01:03

何の目的もなく「分類」する人はいないからねぇ....

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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2021/04/07 01:03

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