連続n整数の積について 大学入試の答案で、 「連続n整数の積はn!の倍数である」 というのは証明なし

連続n整数の積について

大学入試の答案で、
「連続n整数の積はn!の倍数である」
というのは証明なしで使っていいのでしょうか？

例えば次のような問題です。
問.
nが整数のとき、n^5-5n^3+4n が120の倍数であることを証明せよ。

回答.
n^5-5n^3+4n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)

nは整数であるから、連続5整数の積より、
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) は5! の倍数、すなわち120の倍数である
ゆえに、題意は示された


上記の問題は適当に考えた問題なのですが、想定している大学のレベルは、私立ですとGMARCH以上、国立ですと千葉大以上です。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/03/31 14:22

入試なら高校で組み合わせを習った前提だから、証明なしでも良いかも。

減点されるかも知れないので簡単に証明書いたらGOO。

連続k整数の積 n(n+1)(n+2)・・・(n+k-1) は　(n+k−1)C(n−1)⋅k!
∴k!の倍数

って書けば？

No.2 回答者： 八丁堀の旦那 回答日時： 2021/03/31 15:47

教科書に定理として載っていないなら当然証明が必要です。

なお、n(n+1)(n+2)・・・(n+k-1) は(n+k−1)C(n−1)⋅k!だとして、(n+k−1)C(n−1)=(n(n+1)(n+2)・・・(n+k-1)/k!)×k!=n(n+1)(n+2)・・・(n+k-1)×(k!/k!)となり、(n+k−1)C(n−1)⋅k!の後ろのk!は結局消えます。ですので、n(n+1)(n+2)・・・(n+k-1)がk!の倍数であることの証明になっていません。
こういう点からも、やはり証明は書かないとね。

No.3 回答者： 八丁堀の旦那 回答日時： 2021/03/31 15:57

補足として、(n+k−1)C(n−1)が整数だと証明されていれば、(n+k−1)C(n−1)⋅k!はk!の倍数になりますが、(n+k−1)C(n−1)が整数だと言うのは、n(n+1)(n+2)・・・(n+k-1)/k!が整数である、つまりn(n+1)(n+2)・・・(n+k-1)がk!の倍数であるということです。

結局、証明したい結論と同じことになりますので、証明になっていません。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/04/01 03:40

基本的には教科書に書いてあれば OK.

とはいえその「回答」の
「連続5整数の積より、
(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) は5! の倍数」
は日本語としていただけないなぁ. もっときちんと書くべきだろう.

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/01 15:51

n^5 - 5n^3 + 4n = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)

　　　　　　　　= (n+2)P5
　　　　　　　　= (n+2)C5 ・ 5！
ですね。
(n+2)C5 が整数であればよいことになりますが、

パスカルの三角形
　　mC0 = mCm = 1,
　　(m+1)Ck = mCk + mC(k+1).
を使って、m についての数学的帰納法により
mCk がみな整数であることを示すことができます。

No.6 回答者： 八丁堀の旦那 回答日時： 2021/04/01 17:44

(n+k−1)C(n−1)が整数であることは、n(n+1)(n+2)・・・(n+k-1)がk!の倍数であると意味します。

(n+k−1)C(n−1)が整数であることを証明したら、すぐに(n+1)(n+2)・・・(n+k-1)がk!の倍数だと言えます。
n(n+1)(n+2)・・・(n+k-1)がk!の倍数だと既に分かってるのに、n(n+1)(n+2)・・・(n+k-1)=(n+k−1)C(n−1)⋅k!と変形して、(n+k−1)C(n−1)が整数だから、などとやる必要はないでしょう。