大学入試問題です。 ⑴nは2以上の自然数、r＞0とき、 {1+r^(n-1)}／2≧{1+r+r^2

大学入試問題です。

⑴nは2以上の自然数、r＞0とき、
{1+r^(n-1)}／2≧{1+r+r^2+…+r^(n-1)}／nを示せ。

⑵等差数列a_1,a_2,a_3,…,a_nと、公比が正の等比数列b_1,b_2,b_3,…,b_nにおいて、a_1=b_1、a_n=b_n、a_1＞0とすると
a_1+a_2+…+a_n≧b_1+b_2+…+b_nを示せ。

⑴は、帰納法かと考えましたがうまくいかないと分かり、解けませんでした。

途中式や考え方など、詳しく教えてくださる方、よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/01 12:17

(1)

n(1+rⁿ⁻¹)≧2(1+r・・・+rⁿ⁻¹)　を示せば良い。
n=2 のときは自明。

nのとき、成立を仮定し、n+1の時を考える。
　(n+1)(1+rⁿ)=n(1+rⁿ)+1+rⁿ=n(1+rⁿ⁻¹)+n(rⁿ-rⁿ⁻¹)+1+rⁿ
nのときの仮定から
　(n+1)(1+rⁿ)≧2(1+r・・・+rⁿ⁻¹)+n(rⁿ-rⁿ⁻¹)+1+rⁿ
　　　　　　　=2(1+r・・・+rⁿ)+n(rⁿ-rⁿ⁻¹)+1-rⁿ
したがって、n(rⁿ-rⁿ⁻¹)+1-rⁿ≧0 を示せばよい。

n(rⁿ-rⁿ⁻¹)+1-rⁿ=nrⁿ⁻¹(r-1)+1-rⁿ
=(1-r){-nrⁿ⁻¹+(1+r+・・・+rⁿ⁻²+rⁿ⁻¹)}
=(1-r){(1-rⁿ⁻¹)+r(1-rⁿ⁻²)+・・・+rⁿ⁻²(1-r)+0}
=(1-r)²{(1+r+・・・+rⁿ⁻²)+r(1+・・・+rⁿ⁻³)+・・・+rⁿ⁻²}
=(1-r)²{1+2r+3r³+・・・+(n-1)rⁿ⁻²}
r>0だから、右辺は０以上で、命題は帰納法により証明された。

(2)
na₁+{n(n-1)/2}a≧a₁(1+r+・・・+rⁿ⁻¹)
を示せばよい。

a[n]=b[n] から
a₁+(n-1)a=a₁rⁿ⁻¹
を使って
na₁+{n(n-1)/2}a=na₁+(n/2)(a₁rⁿ⁻¹-a₁)
=(a₁n/2)(2+rⁿ⁻¹-1)=(a₁n/2)(1+rⁿ⁻¹)

したがって、a₁>0 なので与式は
(a₁n/2)(1+rⁿ⁻¹)≧a₁(1+r+・・・+rⁿ⁻¹)
→ (1+rⁿ⁻¹)/2≧(1+r+・・・+rⁿ⁻¹)/n
となる。これは(1)で証明したので命題は成立。

この回答へのお礼

投稿ありがとうございます！

⑵と連動していたのですね。もう一度自分でやってみようと思います！

お礼日時：2021/04/01 12:19

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/04/01 00:14

(1) イメージとしては

1+r^(n-1) と r+r^(n-2) のどっちが大きいか
という勝負.

(2) (1) を使えば簡単.