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大学入試問題です。

【問】任意の有理数x,yに対して、f((x+y)/2)=1/2*{f(x)+f(x)}を満たす関数f(x)について考える。

⑴xを与えられた有理数とするとき、すべて自然数nに対して、f(nx)=nf(x)ー(n-1)f(0)が成り立つことを示せ。

⑵すべての自然数nに対して、f(n)ーf(n-1)=f(1)ーf(0)が成り立つことを示せ。

⑶a=f(1)ーf(0)、b=f(0)とおくとき、任意の正の有理数x=p/q(ただしp,qは自然数)に対して、f(p/q)=a(p/q)+bを示せ。

途中式や考察を書いてくださると勉強になるので、よろしくお願いします。また、コメントにて質問もすることが多いので、そちらも時間があれば対応願いたいです。

質問者からの補足コメント

  • 【訂正】

    ⑴や⑵に入る前の導入部分の訂正。
    f((x+y)/2)=1/2*{f(x)+f(x)}→→f((x+y)/2)=1/2*{f(x)+f(y)}
    となっています!すみません。

      補足日時:2021/04/02 17:55
gooドクター

A 回答 (4件)

任意の有理数x,yに対して


f((x+y)/2)=(1/2){f(x)+f(y)}

(1)
P(n)=[f(nx)=nf(x)-(n-1)f(0)]
とする
P(1)=[f(x)=f(x)]は真
(1/2){f(2x)+f(0)}=f(x)
f(2x)+f(0)=2f(x)
だから
P(2)=[f(2x)=2f(x)-f(0)]は真
ある自然数n≧2に対してP(n-1)とP(n)は真と仮定すると
f((n-1)x)=(n-1)f(x)-(n-2)f(0)
f(nx)=nf(x)-(n-1)f(0)
f(nx)=(1/2){f((n+1)x)+f((n-1)x)}
だから
(1/2){f((n+1)x)+f((n-1)x)}=nf(x)-(n-1)f(0)
↓両辺に2をかけると
f((n+1)x)+f((n-1)x)=2nf(x)-2(n-1)f(0)
↓両辺からf((n-1)x)を引くと
f((n+1)x)=2nf(x)-f((n-1)x)-2(n-1)f(0)
↓f((n-1)x)=(n-1)f(x)-(n-2)f(0)だから
f((n+1)x)=2nf(x)-(n-1)f(x)+(n-2)f(0)-2(n-1)f(0)
f((n+1)x)=(n+1)f(x)-nf(0)
P(n+1)=[f((n+1)x)=(n+1)f(x)-nf(0)]も真だから
すべての自然数nに対して
f(nx)=nf(x)-(n-1)f(0)
が成り立つ

(2)
(1)でx=1とすると
自然数n≧2に対して
f(n)=nf(1)-(n-1)f(0)
f(n-1)=(n-1)f(1)-(n-2)f(0)
だから
f(n)-f(n-1)
=nf(1)-(n-1)f(1)-(n-1)f(0)+(n-2)f(0)
={n-(n-1)}f(1)-{n-1-(n-2)}f(0)
=f(1)-f(0)

f(n)-f(n-1)=f(1)-f(0)

(3)
a=f(1)-f(0)
b=f(0)
p,qは自然数
x=p/q
とする
(1)から
f(p)=pf(1)-(p-1)f(0)
f(qx)=qf(x)-(q-1)f(0)
↓f(p)=f(qx)だから
qf(x)-(q-1)f(0)=pf(1)-(p-1)f(0)
↓両辺に(q-1)f(0)を加えると
qf(x)=pf(1)-(p-1)f(0)+(q-1)f(0)
qf(x)=p{f(1)-f(0)}+qf(0)
↓両辺をqで割ると
f(x)={f(1)-f(0)}(p/q)+f(0)
↓x=p/q,a=f(1)-f(0),b=f(0)だから

f(p/q)=a(p/q)+b
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もっときれいな方法はありそうですが。



とりあえず、(x,y)にいろいろな数字を代入して、
どんな結果になるか検討していきます。

すると、(x,y)が、
(0,1)のとき、f(1) = 1/2(f(0)+f(2))
(1,3)のとき、f(2) = 1/2(f(1)+f(3))
(2,4)のとき、f(3) = 1/2(f(2)+f(4))

ということが分かるので、
(n-2,n)を代入してみればよさそうという見当がつきます。

代入して、式をきれいに変形してみると、
f(n)-f(n-1)=f(n-1)-f(n-2)になります。
この左辺は問題(2)で示す予定の式です。

ここでa(n) = f(n)-f(n-1)と置いて、
a(n) = a(n-1) = a(n-2) = ・・・ = a(1)であり、
a(1)=f(1)-f(0)なので、(2)に求める式そのものが出てきます。

順番前後しますが、(1)については、
(x,y)に((n-2)x,nx)を代入してみれば、
f(nx)-f((n-1)x)=f((n-1)x)-f((n-2)x)なので、
同様に、
f(2x)-f(x)=f(x)-f(0)まで行きつきます。

f(nx)-f((n-1)x)=f(x)-f(0)なので、
f((n-1)x)-f((n-2)x)=f(x)-f(0)
f((n-2)x)-f((n-3)x)=f(x)-f(0)
f(2x)-f(x)=f(x)-f(0)で、また縦に足して、

f(nx)-f(x)=(n-1){f(x)-f(0)}が出てきます。
これが(1)で示したい式でした。

(3)は、(1)の式を使います。
(1)の式で、n=q,x=p/qを代入します。
f(p)-f(0)=q(f(p/q)-f(0))

同じく(1)の式で、n=p,x=1を代入します。
f(p)-f(0)=p(f(1)-f(0))

この2つの式から、
f(p/q)=(f(1)-f(0))(p/q)+f(0)
となることが分かります。
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この回答へのお礼

投稿ありがとうございます!
立ち止まったとき、まずは数字を代入してみて考察することが大切でした!思い出させて下さりありがとうございます。

しっかりとしたヒントを頂いた状態なので、やってみようと思います!

お礼日時:2021/04/02 19:51

どこまでできている? 何に困っている?

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この回答へのお礼

投稿ありがとうございます。
まずもって⑴に関してですが、帰納法証明なのではと考えました。ただ、導入部分にある式とどう絡めて立式したり導出するのかが分かりませんでした。初歩段階で申し訳ないです。

お礼日時:2021/04/02 18:32

>f((x+y)/2)=1/2*{f(x)+f(x)}


もしかすると、最後のf(x)はf(y)とか、別の式ではありませんか?
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この回答へのお礼

ほんとですね!ミスです!すみません!

お礼日時:2021/04/02 17:52

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