相加相乗平均の関係の問題

a>0、b>0のとき、不等式(a^2 + 4) / b + (b^2 + 4) / a≧8が成り立つことを証明するという問題で、
相加相乗平均を用いて、
a^2 / b + 4 / a + 4 / b + b^2 /a ≧4√(a/ b) + 4√(b/ a)
として、もう一度相加相乗平均を用いて、
4√(a/ b) + 4√(b/ a) ≧2√(4√(a/ b) ・4√(b/ a) )=8
と変形するやり方

や

a^2 / b + 4 / b ≧ 2√(a^2 / b・4 / b)と
b^2 /a + 4 / a ≧ 2√(b^2 / a・4 / a)
のように分けて、
4a / b + 4b / a ≧ 2√4a / b・4b / a
を証明するやり方

は間違っていますか？

質問者からの補足コメント

• 

  上手い解き方があれば教えていただきたいです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2021/04/03 11:30

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/03 13:26

＞ 上手い解き方があれば教えていただきたいです。

あなたの解法で、どちらでも十分上手いのだけれど...
更に別解ということであれば、

４項一括で相加相乗平均の関係を用いて、
(a^2 + 4)/b + (b^2 + 4)/a
= a^2/b + 4/b + b^2/a + 4/a
≧ 4 ・ ⁴√{ (a^2/b)(4/b)(b^2/a)(4/a) }　；等号成立は a^2/b=4/b=b^2/a=4/a のとき
= 4 ・ ⁴√16
= 8

でもいいかとは思う。
等号成立条件は、整理すればやはり a=b=2 になる。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/02 21:32

上は、一瞬きょとんとしてしまった。

一行目を一旦分けて、
相加相乗平均の関係から
a^2/b + 4/a ≧ 4√(a/ b)　{等号成立は a^2/b=4/a のとき},
4/b + b^2/a ≧ 4√(b/ a)　{等号成立は 4/b=b^2/a のとき}
と書けば読みやすいような気がする。
もう一度相加相乗平均の関係から
4√(a/ b) + 4√(b/ a) ≧ 8　{等号成立は 4√(a/ b)=4√(b/ a) のとき}.
確かに、相加相乗平均の関係を二段階に使っているね。

＞ 不等式(a^2 + 4) / b + (b^2 + 4) / a≧8が成り立つことを証明する
という形の問題だと、最終的な等号成立条件
a^2/b = 4/a かつ 4/b = b^2/a かつ 4√(a/ b) = 4√(b/ a)
が成立するのが a = b = 2 の場合であることは
書かなくてもいいのかもしれない。


下は、一段階目の組分けを変えて
a^2/b + 4/b ≧ 4(a/ b)　{等号成立は a^2/b=4/b のとき},
4/a + b^2/a ≧ 4(b/ a)　{等号成立は 4/a=b^2/a のとき}
より、もう一度相加相乗平均の関係から
4(a/b) + 4(b/a) ≧ 8　{等号成立は a/b=b/a のとき}.
これも正しい。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/04/02 18:21

下は何をやっているのかわからない.

上は正しい... というか
相加平均と相乗平均の関係を 1回使っているだけ
ともいえる.

「相加相乗平均を用いて」という表現は, 個人的にはすべきではないと思うけどね.