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大学入試問題です。

【問】任意の有理数x,yに対して、f((x+y)/2)=1/2*{f(x)+f(y)}を満たす関数f(x)について考える。

⑴xを与えられた有理数とするとき、すべて自然数nに対して、f(nx)=nf(x)ー(n-1)f(0)が成り立つことを示せ。

⑵すべての自然数nに対して、f(n)ーf(n-1)=f(1)ーf(0)が成り立つことを示せ。

⑶a=f(1)ーf(0)、b=f(0)とおくとき、任意の正の有理数x=p/q(ただしp,qは自然数)に対して、f(p/q)=a(p/q)+bを示せ。

途中式や考察を書いてくださると勉強になるので、よろしくお願いします。また、コメントにて質問もすることが多いので、そちらも時間があれば対応願いたいです。

gooドクター

A 回答 (1件)

任意の有理数x,yに対して


f((x+y)/2)=(1/2){f(x)+f(y)}

(1)
P(n)=[f(nx)=nf(x)-(n-1)f(0)]
とする
P(1)=[f(x)=f(x)]は真
(1/2){f(2x)+f(0)}=f(x)
f(2x)+f(0)=2f(x)
だから
P(2)=[f(2x)=2f(x)-f(0)]は真
ある自然数n≧2に対してP(n-1)とP(n)は真と仮定すると
f((n-1)x)=(n-1)f(x)-(n-2)f(0)
f(nx)=nf(x)-(n-1)f(0)
f(nx)=(1/2){f((n+1)x)+f((n-1)x)}
だから
(1/2){f((n+1)x)+f((n-1)x)}=nf(x)-(n-1)f(0)
↓両辺に2をかけると
f((n+1)x)+f((n-1)x)=2nf(x)-2(n-1)f(0)
↓両辺からf((n-1)x)を引くと
f((n+1)x)=2nf(x)-f((n-1)x)-2(n-1)f(0)
↓f((n-1)x)=(n-1)f(x)-(n-2)f(0)だから
f((n+1)x)=2nf(x)-(n-1)f(x)+(n-2)f(0)-2(n-1)f(0)
f((n+1)x)=(n+1)f(x)-nf(0)
P(n+1)=[f((n+1)x)=(n+1)f(x)-nf(0)]も真だから
すべての自然数nに対して
f(nx)=nf(x)-(n-1)f(0)
が成り立つ

(2)
(1)でx=1とすると
自然数n≧2に対して
f(n)=nf(1)-(n-1)f(0)
f(n-1)=(n-1)f(1)-(n-2)f(0)
だから
f(n)-f(n-1)
=nf(1)-(n-1)f(1)-(n-1)f(0)+(n-2)f(0)
={n-(n-1)}f(1)-{n-1-(n-2)}f(0)
=f(1)-f(0)

f(n)-f(n-1)=f(1)-f(0)

(3)
a=f(1)-f(0)
b=f(0)
p,qは自然数
x=p/q
とする
(1)から
f(p)=pf(1)-(p-1)f(0)
f(qx)=qf(x)-(q-1)f(0)
↓f(p)=f(qx)だから
qf(x)-(q-1)f(0)=pf(1)-(p-1)f(0)
↓両辺に(q-1)f(0)を加えると
qf(x)=pf(1)-(p-1)f(0)+(q-1)f(0)
qf(x)=p{f(1)-f(0)}+qf(0)
↓両辺をqで割ると
f(x)={f(1)-f(0)}(p/q)+f(0)
↓x=p/q,a=f(1)-f(0),b=f(0)だから

f(p/q)=a(p/q)+b
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