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回転体の体積
放物線y=x^2 と、この放物線上の点(2,4) における接線、およびx軸とで 囲まれる部分をFとおく。
(1)Fをx軸周りに1回転してできる立体の体積を求めよ。
(2)Fをy軸周りに1回転してできる立方体の体積を求めよ。

これらを教えていただけないでしょうか?

gooドクター

A 回答 (2件)

まずはグラフを書いてみよう。


計算はこれでいいと思うのだが・・・。

(1)
∫(0→1)π・(x^2)^2 dx+∫(1→2){π・(x^2)^2-π・(4x-4)^2}dx
=∫(0→1)π・(x^4)dx+∫(1→2){π・(x^4-16(x^2-2x+1)^2}dx
=π・[(4/5)x^5](0→2)-16π・[(1/3)x^3-x^2+x](1→2)
=π・(4/5)・32-16π・{(8/3-4+2)-(1/3-1+1)}
=π{(128/5)-(16/3)}
=π(304/15)
=304π/15

(2)
∫(0→4)π・{(1/4)y+1}^2 dy-∫(0→4)π・(√y)^2 dy
=(1/16)・π・∫(0→4)(y^2+8y+16)dy-π・∫(y)dy
=(1/16)・π・[y^3/3+4y^2+16y](0→4)-π・[y^2/2](0→4)
=(1/16)・π・(64/3+64+64)-8π
=(4/3+8-8)π
=4π/3
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グラフをかいてFを確認します。


y=x²
y'=2x
点(2,4) における接線の式は、
y-4=4(x-2)
y=4x-4
この接線とx軸の交点は、(1,0)

(1) π∫[x:0→2] (x²)²dx-π∫[x:1→2] (4x-4)²dx
=π∫[x:0→2] x⁴ dx-π∫[x:1→2] 16(x²-2x+1)dx
=π (x⁵/5) [x:0→2]-16π (x³/3-x²+x) [x:1→2]
=(32/5)π-16π{(8/3-4+2)-(1/3-1+1)}
=(32/5)π-(16/3)π
=(16/15)π

(2) y=x²、x>0 より、x=√y
y=4x-4 より、x=(y+4)/4

π∫[y:0→4] {(y+4)/4}²dy -π∫[y:0→4] (√y)²dy
=π∫[y:0→4] (1/16)(y²+8y+16)dy -π∫[y:0→4] y dy
=π∫[y:0→4] (1/16)(y²+8y+16)dy -π∫[y:0→4] (1/16)(16y)dy
=(1/16)π∫[y:0→4] (y²-8y+16)dy
=(1/16)π (y³/3-4y²+16y) [y:0→4]
=(1/16)π (64/3-64+64)
=(4/3)π
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