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数学の質問です。

2πa・x / 360°=2πr という式が参考書にありました。(xは角度を表します)

この式の内容は特に意味ないです。

単純に、式の中に角度が入っているのに違和感があります。

例えば、2πa・120°/360° を求めよ!という問題だったら、120°/360° はすぐに 1/3 と直せてしまうのでいいのですが、先程のような式では角度の部分が中々消えないですし、普通の数として扱うことに抵抗があります。

例えば、両辺360°倍すると、2πa・x=2πr・360°ってことですよね?つまり、2πax=720°πr ってことですか??おかしいですよね…?

角度を式の中で数として扱うとなると、そのような場合も出てくるわけで…。

どう解釈すればいいのでしょう…。

gooドクター

A 回答 (8件)

NO2 です。

少し カン違いがあったようなので 追加します。
「2πa・x / 360°=2πr」は、 
(半径 a の円周の 中心角が x° に対する弧の長さ)と
(半径 r の円周の長さ)が 同じになる と云う式ですね。
初めの式の 両辺を 2π で割ると、a・x/360°=r となりますね。
つまり x/360°=r/a です。
x は 角度ですから 何の問題もないでしょ。
あなたの質問にあるように x=120° ならば 1/3=r/a ですし、
x=90° ならば 1/4=r/a となります。
勿論 x=360°・(r/a) で 計算された x は 角度になりますね。
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察するに、aは円錐の母線の長さ、rは底面の半径。


x は円錐を円と扇形に展開した時の扇形の中心角

>2πa・x=2πr・360°ってことですよね?
>つまり、2πax=720°πr ってことですか?
>?おかしいですよね…?

数式としては何の問題もないです。
左右の表す量の単位が 度・m になって気色悪いということ?
変形の途中ならありうるというだけなんだけど・・・

例えば 母線の長さを求めるなら
2πa・x / 360°=2πr
360度掛けて
→ 2πa・x =2πr * 360°
2πで割って
→ a・x =r * 360°
xで割って
a=r * 360° / x

x が100度、r = 10 cm なら a = 36 cm です。

因みに
中心角をラジアンθで表すと
θ = 2πx / 360°
だから
aθ = 2πr → a = 2πr/θ

例えば x = 100 度だと θ = 2π×100度/360度=2π(5/18)=(5/9)π
r=10 cm なら a = 2π×10/{(5/9)π} = 36 cm

結局のところ、あなたのいうところに違和感とはなんでしょう?

数学では角度(扇形の中心角)とは
扇形の弧の長さを半径で割ったもの。つまり長さの「比の値」。
これの 180/π 倍を 「度」と呼んでます。
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ひとつの式の中で角度を弧度と度数の両方で表していることに


違和感を覚えるのは、気分としては解る。でも、それは変なことじゃあない。
例えば、 6[ヤード]・x/(360[メートル])=8[ヤード] のような式でも
ちゃんと成立して、 x がメートル単位で求まるのだから。
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違った観点から再度追記。




先ほどは「角度は無次元の量だから単位を付けない」と書きましたが、実際には次元を持つ(単位の付く)量であっても数式にいくらでも登場します。例えば物理の方で

v=v0+at

と言った式等を習ったと思いますが、ここに出て来たv(速度)もa(加速度)もt(時間)も全部次元を持つ量です。なので例えば

v=1/3

のような式が出て来たとしたら、左辺のvだけでなく右辺の1/3も次元(すなわち単位)を持つ量です。なので「角度=数値」と言った式になったとしたら、数値の部分も角度を表す事になります。
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先の回答の補足になればと思い追記を少し。




角度の単位と言えば小学校以来「度」が馴染み深いと思いますが、高校で弧度法を習ってからは角度に単位を付けなくなりましたよね。御存知のように弧度法にも「ラジアン」と言う単位がありますが、数学で使った記憶はほとんどありません(物理では角速度等の単位に用いています)。これも先の回答に書いたように「次元のない(無次元の)量だから単位を付けない」と解釈すれば納得しやすいと思います。
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角度を「ただの数」と解釈するのが一つの理解の仕方だと思います。

実際角度の定義は「円弧÷半径」すなわち物理で出て来た「次元のない量」なので、角度を「ただの数」と考える事は数学的にも何ら問題ありません。
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参考書に書いてある部分を もう少し沢山見せてくれますか。


「2πa・x / 360°=2πr 」で、 a, x, r は アルファベットで
π は 円周率などを表す パイ ですよね。
度数とは別の単位で角度を表すとき π を使います。
度数とに関係は 180°=π です。
つまり、基準の違う角度の表し方を
一つの式に混ぜることは 無いと思います。
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角度の単位をあまり意識する必要はないんじゃないかな。


式は関係性を表すものであって、極端な話、数学でその式自体の意味を考察するのはπやe等の有名な数学定数とかの場合でしかないから。
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