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曲線 y=x^4-ax^2+b はx軸と2点で接し、この曲線とx軸とで囲まれたt部分の面積が16/15であるという。aとbの値を求めよ。

こちらを教えていただけますでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • 積分とか必要ない感じですか?

      補足日時:2021/04/04 23:06
gooドクター

A 回答 (3件)

2点で接するので、接する点をp,q(p<q)とすると、


y=(x-p)^2 (x-q)^2
=(x^2 - 2px + p^2)(x^2 - 2qx + q^2)
=x^4 - 2(p+q)x^3 + (p^2 + 4pq + q^2)x^2 - 2(pq^2 + p^2q)x + p^2q^2

これがy=x^4 - ax^2 + bに等しいので、
p+q=0
p=-q

p^2 +4pq +q^2=(p+q)^2 +2pq=2pq=-2q^2
p^2q^2=q^4

よって、a=2q^2, b=q^4

∫[-q, q]x^4 - ax^2 + b dx

x^4 - ax^2 + bは各項が偶関数なので、

=2[0, q]x^4 - ax^2 + b dx
=2[0, q]x^4 - 2q^2x^2 + q^4 dx
=2((x^5/5) - 2q^2x^3/3 + q^4x)[0, q]
=2(q^5/5 - (2/3)q^5 + q^5)
=2(3q^5/15 - (10/15)q^5 + (15/15)q^5)
=(16/15)q^5

よって、q=1となり、a=2, b=1となる。
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「(面積を求めるのに)積分とか必要ない感じですか」と補足にありましたが、面積や体積を求める事は取りも直さず「積分をしている」と言う事になります。

そもそも面積や体積とはある意味「積分した結果の事」なので、小学校でやった「縦3cm、横4cmの長方形の面積は?」と言う問題の計算もれっきとした「積分の計算」です。
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>積分とか必要ない感じですか?



ゴメン、途中から積分記号∫が消えていたけど、もちろん積分を使う。
修正版は以下。

=2∫[0, q]x^4 - ax^2 + b dx
=2∫[0, q]x^4 - 2q^2x^2 + q^4 dx
=2((x^5/5) - 2q^2x^3/3 + q^4x)[0, q]
=2(q^5/5 - (2/3)q^5 + q^5)
=2(3q^5/15 - (10/15)q^5 + (15/15)q^5)
=(16/15)q^5

よって、q=1となり、a=2, b=1となる。
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