lim(n->∞)an=Aとするとき、lim(n->∞)(a1+...+an)/n=A であることの

lim(n->∞)an=Aとするとき、lim(n->∞)(a1+...+an)/n=A
であることの証明があっているか教えて下さい。以下証明

収束する数列は有界なので、任意のnに対してあるMがあって、|an|<Mとできる。ゆえに
(a1+...+an)/n-A < M/n-A (1)
なので、任意のε>0に対し、N>(ε+A)/MとなるNを定めると、(1)<εとなる。

質問者からの補足コメント

• すみません。N>(ε+A)/Mじゃなくて、N>M/(ε+A)です。

    補足日時：2021/04/11 00:09

• すみません。文章がおかしかったですね。数列が有界だと言いたかったので、「あるMがあって、任意のnに対して、|an|<Mが成り立つ。」です。

    補足日時：2021/04/11 02:44

• 皆さんありがとうございました。もう少しεデルタ勉強します

    補足日時：2021/04/14 04:16

No.7 回答者： rnakamra 回答日時： 2021/04/11 17:32

決定的におかしいのは

>任意のnに対してあるMがあって、|an|<Mとできる。ゆえに
(a1+...+an)/n-A < M/n-A

の部分。
いろいろと突っ込みがあるが、
|(a1+...+an)/n|<M/n
すら成り立たない。
|(a1+...+an)/n|<M
にはなりますが。

ε-N論法を使うのであれば
lim[n→∞]a(n)=A
もε-N論法で表してみればよいのでは。n≦Nとn>Nで分ければn>Nの部分については大きさを評価できる。n≦Nの部分については有限の大きさにすぎない。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/11 16:42

訂正です

an=1/n
とすると
lim(n→∞)an=0=A
0<1/n≦1<3/2=M
だから
|an|=|1/n|<3/2=M

(a1+a2+a3)/3-A=(1+1/2+1/3)/3=11/18>1/2=M/3-A
だから
(a1+a2+a3)/3-A>M/3-A
だから
(a1+a2+a3)/3-A<M/3-Aにならないから
(a1+...+an)/n-A<M/n-Aにならない

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/11 16:39

an=1/n

とすると
lim(n→∞)an=0=A
0<1/n≦1<3/2=M
だから
|an|=|1/n|<3/2=M

(a1+a2+a3)/3-A=(1+1/2+1/3)/2=11/12>1/2=M/3-A
だから
(a1+a2+a3)/3-A>M/3-A
だから
(a1+a2+a3)/3-A<M/3-Aにならないから
(a1+...+an)/n-A<M/n-Aにならない

No.4 回答者： 八丁堀の旦那 回答日時： 2021/04/11 15:42

だから、「あるMがあって、任意のnに対して、|an|<Mが成り立つ。

」だったとしても、|an|<Mだとしても、(a1+...+an)/n-A < M/n-Aにならない。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/04/11 03:07

例えば

an = (1/n)-1
に対してこの議論を適用したらどうなる?

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/04/11 02:08

「任意のnに対してあるMがあって」の順だと n ごとに M を決めてもいい (つまり n が違えば M は違ってもいい) ということだね?

あと,
(a1 + ... + an)/n - A < ε
といえたとしてもそれが直ちに
lim(n->∞)(a1+...+an)/n=A
を意味するわけじゃない.

この回答へのお礼

色々ガバガバでしたね。|(a1+...+an)/n-A|<εで有れば大丈夫ですよね？

お礼日時：2021/04/11 02:46

No.1 回答者： 八丁堀の旦那 回答日時： 2021/04/11 01:26

|an|<Mだとしても、(a1+...+an)/n-A < M/n-Aになりません。

|an|<Mは個々の項についてなんだから、(a1+...+an)についてではない。