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arccos(1/2)=π/3
ですが
arccos(1/3)
は無理数な気がします。
どうやったら証明できるんでしょうか?

gooドクター

A 回答 (4件)

arccos(1/3)が有理数と仮定すると


arccos(1/3)=a/b(a、bは互いに素の自然数)
a=b*arccos(1/3)
aはarccos(1/3)の倍数、a=c*arccos(1/3)、(c、aは互いに素の自然数)
c*arccos(1/3)=b*arccos(1/3)
でaとbは同じ公約数arccos(1/3)を持つ。
この事は、a、bは互いに素の自然数に反する。
よって、arccos(1/3)は無理数。
なお、π/3はπ/3ラディアンで60°のこと。
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No.1さんの引用サイトから


arccos(1/3)が無理数なのはたしか。
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π/3 は 無理数ですよ。


無理数でないのは、arccos(1)=0 だけでは。
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そんなあなたに


https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A …

π/3 も無理数 (もっといえば超越数) だけど.
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