arccos(1/3)が無理数であることは示せますか？

arccos(1/2)=π/3
ですが
arccos(1/3)
は無理数な気がします。
どうやったら証明できるんでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2021/04/12 17:05

arccos(1/3)が有理数と仮定すると

arccos(1/3)＝a/b（a、ｂは互いに素の自然数）
a=b*arccos(1/3)
aはarccos(1/3)の倍数、a=c*arccos(1/3)、（c、aは互いに素の自然数）
c*arccos(1/3)＝ｂ*arccos(1/3)
でaとｂは同じ公約数arccos(1/3)を持つ。
この事は、a、ｂは互いに素の自然数に反する。
よって、arccos(1/3)は無理数。
なお、π/3はπ/3ラディアンで６０°のこと。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2021/04/12 17:52

No.1さんの引用サイトから

arccos(1/3)が無理数なのはたしか。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2021/04/12 14:08

π/3 は 無理数ですよ。

無理数でないのは、arccos(1)=0 だけでは。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/04/12 00:30

そんなあなたに

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A …

π/3 も無理数 (もっといえば超越数) だけど.