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数学の恒等式について質問です。


「P, Qがxについてのn次以下の整式であるとき、等式P=Qがn+1個の異なるxの値に対して成り立つならば、この等式は x についての恒等式である。」

という定理があると思いますが、P,Qがxとyについての式であったとき、P=Qが何個のxの値に対して成り立つならx,yについての恒等式だと言えるんですか?

つまり、「恒等式となるようにa,b,c を求めよ」というような問題で、x,yを何パターン代入すればいいんですか?

文字が複数の場合の恒等式の考え方が全く分かりません…

理由も教えて欲しいです。お願いします。

gooドクター

A 回答 (2件)

結論;


>つまり、「恒等式となるようにa,b,c を求めよ」というような問題で、
>x,yを何パターン代入すればいいんですか?

n次式であれば、n組((0,0)(1,0)(0,1)のように)です。(個人的には数値代入法よりも係数比較のほうがやりやすいと思いますが、、、)xだけの場合と同様に考えてください。(そのほかの文字を定数とみなしてしまえばよい。2ついっぺんに代入しようとするから混乱するので。)

補足;

二次関数のグラフの際に、3点を決めれば(2次関数に未知の文字が入ってなければ)グラフが描けるということを習ったと思います。この恒等式は、それと同じことをただ文字でやっているだけにすぎません。
yの値が決まるとxの値が決まるのが関数なので、恒等式であれば同じ形のグラフが描けるはずです。
両辺にa,b,cとx,yが入っているといった状況でも値を求められる理由のは、まずxyのペアで値を代入して(x,yについての と書かれている場合)yを見知らぬ文字から値に変えられ、さらにabcの値によって変わるグラフのうち、両辺が重なるのがどうしてもある定数のみにしか当てはまらない、という特殊な状況下を問題が作ってくれているからです。

「P, Qがxについてのn次以下の整式であるとき、等式P=Qがn+1個の異なるxの値に対して成り立つならば、この等式は x についての恒等式である。」ことの証明は(通るn点が与えられたら,二次関数は1つに決まる。)ことを証明すればいいので、https://manabitimes.jp/math/725 などを参考尾にすれば深いことがわかるかと思います。
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結果的には、未知係数が n 個なら n 種類の x を代入すればよいです。


n 種類が必要なことは、連立一次方程式を解いたことがあれば理解しているでしょうが、
n 種類で十分なことは、Vandermonde の行列式を知らないと難しいかもしれません。
参考↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A1 …
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