電気回路の問題です。

①入力電圧ei(t)に時刻t=0で立ち上がる高さEのステップ関数で表される電圧を与えるとき、出力電圧eo(t)をE、R、C、t、aを用いて求めよ。ただし、t<0でコンデンサの電化はゼロとする。
②入力電圧ei(t)に高さE、パルス幅aの単一方形パルスを与える時、0≦t≦aとt≧aのそれぞれの時間領域における出力電圧eo(t)をE、R、C、t、aを用いて求めよ。ただし、t<0でコンデンサの電化はゼロとする。
①はq/C+Rq'=E微分方程式を立てて、(q'はqの導関数)初期条件でt=0の時q=0として、q=EC(1-e^(-t/(RC)))、i=E/Re^(-t/(RC))したがって、eo(t)=Ee^(-t/(RC))
と考えたのですが、初期条件に関して問題文にt<0で電荷がゼロと書いてあるため、腑に落ちていません。
①の正誤と②の考え方と回答を教えていただけますと幸いです。
何卒よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/14 07:55

①

正しいです。

過渡現象における初期条件の原理・仮定は
　・Cの電荷(Q=CV により、電圧も)の変化は連続。
　・Lの電流の変化は連続。
です。

したがって、t<0 で q=0 なら、t=0で q=0 です。
　　q(0)=lim(t → -0) q(t)=lim(t → -0) 0 =0 ( q(-0)=q(0) )

②
・0≦t≦a では①から
　q=EC(1-e^(-t/(RC)))

・t≧a では同じく
　q/C+Rq'=0 → q=Ae^(-t/(RC))・・・・(A)

①から t=aにおける q(a)=EC(1-e^(-a/(RC)))　は
「Cの電荷が連続」という原理から (A) の t=aでの q(t) と等しい。

すなわち
Ae^(-a/(RC))=EC(1-e^(-a/(RC)))
　　→ A=EC( e^(a/(RC)) - 1 )
したがって
　q=EC( e^(a/(RC)) - 1 ) e^(-t/(RC)) (t≧a)

すると
　e₀=R(dq/dt)= -(E/R)( e^(a/(RC)) - 1 ) e^(-t/(RC))

この回答へのお礼

詳しく解説していただきましてありがとうございます。
大変助かりました

お礼日時：2021/04/14 18:12

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2021/04/14 14:26

他の回答者さんも指摘しているように

この回路では条件が変わってもＣの電荷ｑは連続的に
変わるということです。
なぜかというともしｑが不連続に変わるならその時間微分の
電流ｉ＝ｄｑ/ｄｔが無限大になって抵抗Ｒに無限大の電圧Ｒｉ
が発生するということになります。
実際にはそういうことがおこらないので、
ＣとＲの直列回路では条件が変わっても
ｑは連続的に変わることになります。

この回答へのお礼

補足説明ありがとうございます。
非常に参考になりました

お礼日時：2021/04/14 18:09

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/14 11:37

誰も t<0 の議論などしていない。

述べたように、t<0は初期条件を決めるための話です。

微分方程式は
0≦t≦a と t≧a で別々に方程式を立てればよく、わざわざ面倒に
する必要は全く無い。

趣味でやりたいなら別だが。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/04/14 10:03

>初期条件に関して問題文にt<0で電荷がゼロと書いてあるため、

>腑に落ちていません。

t < 0 では q/C+Rq'=E ではなくて q/C+Rq'=0 なわけですから 　
q=EC(1-e^(-t/(RC)))　ではありません。

q(0)=0 ＆ q/C+Rq'=0　ですから、q(t) = 0(t < 0) になります。


②は、パルス関数 p(t) は 単位ステップ関数 u(t) で表すと
u(t)=0 {t < 0}, u(t)=1 {t ≧ 0}

p(t) = Eu(t) - Eu(t-a)

ですよね。

入力 - Eu(t-a) に対する応答は 時間 a 遅れたステップ応答だから
Eu(t) に対するステップ応答を s(t) とすると

- u(t-a)s(t-a)

パルスにたいする応答は Eu(t) と -Eu(t-a) それぞれの応答の和だから
パルスにたいする応答は ps(t) は

ps(t) = u(t)s(t) - u(t-a)s(t-a)

s(t)は①のステップ応答だから、②は上の式から直ちに求まります。

これは応用範囲がでかいので覚えておきましょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
こちらの方法もメモをとっておこうと思います。

お礼日時：2021/04/14 18:11