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X=(2a+b)/3 Y=(2a^2+b^2)/3とした時、 -1≦a≦2かつ-1≦b≦1を動くなら(X,Y)はどのような軌跡になりますか?

質問者からの補足コメント

  • 回答よろしくお願いします

      補足日時:2021/04/17 19:05
gooドクター

A 回答 (1件)

1.問題



 変数 a,b の作る ab直交座標系において
   -1≦a≦2 , -1≦b≦1・・・・・・(1.1)
 を満たす四角形の領域が変換
   x=(2a+b)/3 , y=(2a²+b²)/3・・・・・・(1.2)
 によって、xy座標系の領域はどのような形状になるか。

2.計算

 2.1 aを一定とし、bを変化させた線分(縦線)の像

  a=一定で、b=-1~1 の直線が、xy平面でどのような形状になる
  か調べるため、bを消去すると
    y=3x²-4ax+2a²={2a²+(3x-2a)²}/3=3x²-4ax+2a²
      =3{ (x-2a/3)²+2a²/9 }・・・・・(2.1)
  となる。これをみると、同じ形の放物線がaによって、右へ移動、
  上から下へ、また上に移動する。その両端での放物線は

  (2.1)から a=-1 のとき
    y=3x²+4x+2 =3{ (x+2/3)²+2/9 }     (a=-1) ・・(2.2)
  となり、この両端の座標は(1.2)から(b=-1~1 として)
    (x,y)=(-1,1)~(-1/3,1) ・・・・・・・・・・・・(2.3)
  となる。a=2 のときは
    y=3x²-8x+8 =3{ (x-4/3)²+8/9 }     (a=2) ・・・(2.4)
  となり、この両端の座標は同様に
    (x,y)=(1,3)~(5/3,3) ・・・・・・・・・・・・・(2.5)
  となる。

  すると、求める領域は左右の両端近傍で、この曲線以下となる。

 2.2 放物線群の包絡線

  上のように放物線が移動すると、下側ではこの放物線群の包絡
  線がある。これは(2.1)の両辺をaで微分したものと(2.1)から、
  aを消すと求まるから
    0=-4x+4a → a=x → y=x²  ・・・・・・・・・(2.6)
  となる。すると、求める領域は、少なくとも、この包絡線の上
  にある。

 2.3 放物線群の両端の軌跡

  この両端の軌跡は(2.1)でb=∓1として、aを消すと
    y=((3x±1)²/2+1)/3=(3x²±2x+1)/2  (b=∓1、複号同順)・・・・(2.7)
  この曲線と包絡線(2.6)の接点を求めると
    x²=y=(3x²±2x+1)/2 → (x±1)²=0
      → x=∓1 (b=∓1、複号同順)・・・・(2.8)
  となり、左端は問題ないが、(2.5)から右端 x=1 は放物線の右
  端 x=5/3 より小さい。
  つまり、右端は x=1~5/3の間は、求める領域の下限は包絡線
  ではなく、(2.7)より上にある。

  以上をまとめると、求める領域の下限は
    y≧x² (-1≦x≦1) , y≧(3x²-2x+1)/2 (1≦x≦5/3)
  となる。

 2.4 求める領域の上側の境界

  まず、曲線群の両端の軌跡(2.7)は途中で交差し、入れ替わるか
  らその交点を求める。
    (3x²+2x+1)/2=y=(3x²-2x+1)/2 → x=0 ・・・(2.9)
  となる。これにより、求める領域の上限の境界が決定され
    y≦3x²+4x+2  (-1≦x≦-1/3)    ( (2.2), (2.3)から )
    y≦(3x²-2x+1)/2 (-1/3≦x≦0)  ( (2.8), (2.9)から )
    y≦(3x²+2x+1)/2   (0≦x≦1)     ( (2.8), (2.9)から )
    y≦3x²-8x+8 (1≦x≦5/3)   ( (2.4), (2.5) から )

 2.5 結論

  以上をまとめると、求める領域は
          x²≦ y ≦3x²+4x+2  (-1≦x≦-1/3)
          x²≦ y ≦(3x²-2x+1)/2 (-1/3≦x≦0) 
          x²≦ y ≦(3x²+2x+1)/2   (0≦x≦1) 
    (3x²-2x+1)/2≦ y ≦3x²-8x+8 (1≦x≦5/3)
  となる。
「X=(2a+b)/3 Y=(2a^2+b」の回答画像1
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2021/04/18 21:11

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