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4組の夫婦Aとa,Bとb,Cとc,Dとdが円形に並ぶ。 Aとa,Bとb,Cとcの3組の夫婦は、夫婦同士がとなり合わない並び方は何通りあるか?

この問題の解説お願いします。

gooドクター

A 回答 (2件)

[1] 4組の夫婦が隣合っても隣合わなくてもいい並びかたは、


(8-1)! 通り。

[2] Aとa,Bとb,Cとcの3組の夫婦が皆隣合う並びかたは。
(5-1)! × (2^3) 通り。

[3] Aとa,Bとbの2組が隣合う並びかたは、
(6-1)! × (2^2) 通り。
これには [2] の場合も含んでいるので、
Aとa,Bとb,Cとcの3組の夫婦のうち Aとa,Bとbの2組がだけが隣合う並びかたは、
(6-1)! × (2^2) - (5-1)! × (2^3) 通り。
Bとb,Cとcの2組、Aとa,Cとcの2組が隣合う場合も同様。

[4] Aとaが隣合う並びかたは、
(7-1)! × (2^1) 通り。
これには [3] の場合も含んでいるので、
Aとa,Bとb,Cとcの3組の夫婦のうち Aとaの1組がだけが隣合う並びかたは、
(7-1)! × (2^1) - { (6-1)! × (2^2) - (5-1)! × (2^3) }×2 通り。
Bとb、Cとcが隣合う場合も同様。

以上より、
Aとa,Bとb,Cとcの3組の夫婦がどれも隣合わない並びかたは、
[1] - [2] - [3]×(3C2) - [4]×(3C1)
= 7! - (4!×8) - (5!×4 - 4!×8)×3 - { 6!×2 - (5!×4 - 4!×8)×2 }×3
= 7! - (4!×8)×4 + (5!×4)×3 - (6!×2)×3
= ...

ここから先の式整理は、めんどなんで自分でよろしく。
もっと冴えた解法が他にあるような気はするけど。
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隣り合わない並び方=全ての並び方-隣り合う並び方



この場合、全ての並び方、は8人の円順列として求められます。
隣り合う並び方は、隣り合う夫婦、Aa、Bb、Ccを二人一組として考えればよいでしょう。ただ、それぞれの組み合わせの中での順列(例えば、AaなのかaAなのかの違い)を忘れないようにします。この場合、5人(3組と残り2人)の円順列×(2人の順列)³で求められるでしょう。
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