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数学について質問です。

|a+b+c|≦ |a|+|b|+|c|。
を示し、等号成立条件も求めます

実はこの問題は(3)でして、(1)で|a+b|≦ |a|+|b|を示しました。

それを利用します。

(1)で示した|a+b|≦ |a|+|b| のbの部分にb+cを代入すると、|a+b+c|≦ |a|+|b|+|c|を示せます。

問題は等号成立条件です。

ちなみに、(1)の場合の等号成立は "ab≧0のとき" でした。

なので、先程と同じように、bの代わりにb+cとおいて、"ab+ac≧0のとき"が答えになるのかな?と思いましたが、違いました。

解答ではこのように書いてました。

等号が成り立つのは、(1)の等号成立条件ab≧0において、bの代わりにb+cをおいたa(b+c)≧0、かつaの代わりにcをおいたbc≧0のときである。

a(b+c)≧0ならば、(a≧0かつb+c≧0) または(a≦0かつb+c≦0)
また、b+c≧0ならば、(b≧0かつc≧0) または (b≦0かつc≦0)

よって、a≧0, b≧0, c≧0 または a≦0, b≦0, c≦0 のときである。

以上が解答の内容です。

全体的に 何を言ってるのか分かりません…。

なぜaの代わりにcをおいたのか分かりませんし、a(b+c)≧0ならば〜の部分も全く分かりません…。

具体的な解説お願いします…

gooドクター

A 回答 (1件)

よくわからん解答に思う。



【式の成立について】
(1)で|A+B|≦ |A|+|B|を示した。
A=a、B=b+c とおいて、
|a+b+c|≦|a|+|b+c|
|b+c|≦|b|+|c| より、|a|+|b+c|≦|a|+|b|+|c|
まとめると、
|a+b+c|≦|a|+|b+c|≦|a|+|b|+|c| ・・・①
故に、|a+b+c|≦|a|+|b|+|c|

【等号成立について】
①の |a+b+c|≦|a|+|b+c| 部分に関しての等号成立は、(1)の考え方より
a(b+c)≧0

①の |a|+|b+c|≦|a|+|b|+|c| 部分に関しての等号成立は、やはり(1)の考え方より
bc≧0

だから、全体での |a+b+c|≦|a|+|b|+|c| での等号成立は
a(b+c)≧0 かつ bc≧0 でなければいけない。→ここはミソ。a(b+c)≧0だけでは条件が不足。

bc≧0より、b≧0かつc≧0、もしくは b≦0かつc≦0 である。
(つまり、どちらも0以上か、もしくはどちらも0以下かである。)

(i)b≧0 かつ c≧0の場合(両方とも0以上)
b+c≧0であり、a(b+c)≧0 より a≧0 となるはず。
だから、a≧0 かつ b≧0 かつ c≧0である。

(ii)b≦0 かつ c≦0の場合(両方とも0以下)
b+c≦0であり、a(b+c)≧0 より a≦0 となるはず。
だから、a≦0 かつ b≦0 かつ c≦0である。

以上から、等号成立条件は
・a≧0 かつ b≧0 かつ c≧0 か、もしくは
・a≦0 かつ b≦0 かつ c≦0 のいずれかである。

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ここまで書いて気が付いた。
「aの代わりにcをおいたbc≧0のときである。」→この部分は、|b+c|≦|b|+|c| の等号が成立する条件を言っていたんだね。
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