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長方形をした土地の周囲に樹木を植えたい。
土地の広さが横492m、縦348mである。
樹木は等間隔に、土地の四隅には必ず植える。
植える樹木は何本必要か。

492と348の最大公約数を求めることで、
等間隔の最大値が求まるかと思います。
ここで、「土地の四隅には必ず植える」を
どう組み込めばいいかご教示下さい。
宜しくお願いします。

質問者からの補足コメント

  • すみません、取り急ぎ補足致します。
    「植える樹木の本数は最小」の条件が抜けておりました。宜しくお願いします!

      補足日時:2021/04/22 14:30
gooドクター

A 回答 (9件)

「四隅には必ず植える」と「出来得る最小の本数」の二つの


条件が無ければ 答えが出せません。

492=2x2x3x41 ; 348=2x2x3x29 。
つまり 492 と 348 の 最大公約数は 2x2x3=12 。
従って、12m 間隔で植えれば良いことになります。
492÷12=41, 348÷12=29 。
求める答えは 41+41+29+29=140 で、
12m 間隔で 全部で 140本 必要になります。

※ 492÷12=41 で 片方の隅に植えて 反対の隅には 無いことになります。
ですから 41+41+29+29=140 で 四隅に植えられたことになります。
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木の1本1本に紐をつける。


紐が終わるところに次の木を植える。
ただし紐の長さはすべて同じである。

これが「等間隔に植える」ということである。

492と348の最大公約数ということである。
ということは492で割り切れる。

・492の辺の最後の木の紐は、辺のちょうど終点で終わる。
次の木は328の始点に植えることができる。
・また、348の辺においても、最後の木の紐は辺のちょうど終点で終わる。
次の木は492の始点に植えることができる。
→これらを言い換えると「四隅に必ず植える」となる。
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等間隔に植えながら四隅に植えるのですから、縦なり横なりの辺の長さが、その間隔で割り切れなければなりません。

ある隅から植え始めた際に、もし割り切れない(余りが出る)なら、次の隅に植えることはできなくなってしまいます。「等間隔で植えて、なおかつ、全ての隅に植える」と言うことから、公約数を使わなければならないことがわかるのです。
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補足拝見しました。



これまでに似た問題を解いていて、
なんとなく「最大公約数」で解くものだと思い込んでるのかもしれませんが、

「四隅に必ず植える」「最小本数」
というキーワードが組み込まれた結果が、
「最大公約数を求める」
ということになってるんですよ。
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間隔Lで横にA本植えて、縦にB本植えた場合。


L(A-1)=492、L=492/(A-1)、A-1の1本は片隅の縦と重なる分
L(B-1)=348、L=348/(B-1)、B-1の1本は片隅の横と重なる分
(A-1とB-1におなじ約数は無いとする)
492/(A-1)=348/(B-1)
(A-1)/(B-1)=492/348=123/87=41/29(41と29におなじ約数は無い)
横12m間隔に41本植えて、A-1=41
縦12m間隔に29本植えて、B-1=29
合計(41+29)x2=140本
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この問題だと、最大公約数を求めず、1m間隔で植えた場合の数を答えてもいいような気がするけど…


最小本数を求めよ、とかかな。

それはおいといて。

四辺合計1680mでしょ?
仮に10mの等間隔で植えたら…縦、横は10の倍数じゃないから、四隅に当たる角に木を植えられないでしょ?

なので、「土地の四隅には必ず植える」ということは、492mと348mを割り切れる間隔である必要があるんですよ。
つまり、「【最大公約数】を求めろ」という意味が込められている条件なのです。

間違ってたので訂正投稿。
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その条件は、あまり意味がない。


最大の等間隔が L だとすると、
木の本数は (長方形の周長)÷L。
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この問題だと、最大公約数を求めず、1m間隔で植えた場合の数を答えてもいいような気がするけど…


最小本数を求めよ、とかかな。

それはおいといて。

四辺合計1680mでしょ?
仮に10mの等間隔で植えたら…縦、横は10の倍数じゃないから、四隅に当たる角に木を植えられないでしょ?

なので、「土地の四隅には必ず植える」ということは、492mと348mを割り切れる数値である必要があるんですよ。
つまり、「最小公倍数を求めろ」という意味が込められている条件なのです。
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縦に等間隔に木を植えるには、縦が1本道なら


縦÷最大公約数+1
横も1本道なら
横÷最大公約数+1 だが、「土地の四隅には必ず植える」ならどちらも+1は不要。
長方形には縦横2本ずつ辺があるので、
(縦÷最大公約数+横÷最大公約数)×2 で答えは求まると思う。


よう知らんけど。
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