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A={a,b,{b}}の時、{a,a,{b}}⊂Aは真??

{a,{b}}⊂Aは成り立ちますが、aが元として2つある時にはどうに考えれば良いのでしょうか?

A 回答 (5件)

ふつうは


同じ要素を複数書いても 1個とみなす
ので {a, a, {b}} = {a, {b}} なんだよね.

「実は多重集合を扱っています」とかいう目に見えない条件が入っていなければ.
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この回答へのお礼

そうなんですね!
自分も調べて見たらそう出てきました。
ありがとうございます。

お礼日時:2021/04/26 22:02

No.4訂正



> (例えば)実体は{{0,{a}},{1,{a}},b}なのだ、と定めておけば、

(例えば)実体は{{0,{a}},{1,{a}},{0,{b}}なのだ、と定めておけば、

に訂正。
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「集合(set)」という概念を定義する公理系の中に「外延の公理」ってものがあります。

これは「集合同士が等しい」とはどういうことか、を規定する公理であり、その内容は:
 ∀x(x∈P ⇔ x∈Q) と P=Qとは同値。
というもの。(すなわち、どんなxについても「xがPの要素であるならxはQの要素であり、しかも、xがPの要素でないのならxはQの要素でない」が成り立つ、ってことです。)

 で、P={a,a,{b}}、Q={a,{b}}の場合、∀x(x∈P ⇔ x∈Q) ですから、P=Q です。ついでに、Pの濃度(要素の個数)は2です。重複する要素はカウントしない、ってことですね。

 なお、計算機科学などでは多重集合(bag)を使う場合もある。bagの場合には{a,a,b}≠{a,b}だという訳ですが、表記上は{a,a,b}と書いても、それは一種の略記であって、(例えば)実体は{{0,{a}},{1,{a}},b}なのだ、と定めておけば、setの特殊な場合にすぎません。
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A={a,b,{b}}の時



(⊂の定義から)

x∈{a,a,{b}}→x∈A
が真の時
{a,a,{b}}⊂A は 真
となります

x∈{a,a,{b}}
ならば
x=a または x={b}
だから
x=aの時x=a∈{a,b,{b}}=Aだからx∈A
x={b}の時x={b}∈{a,b,{b}}=Aだからx∈A
∴x∈A
x∈{a,a,{b}}→x∈Aが真だから
{a,a,{b}}⊂A は 真
となります

集合には、同じ元はふたつ入らないので、
{a,a,{b}}というものが存在しないと解釈して
x∈{a,a,{b}}が偽だとすると

x∈{a,a,{b}}→x∈A
は(仮定が偽だから)
真となるから
{a,a,{b}}⊂A は 真
となります
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
面白いです。

お礼日時:2021/04/26 22:02

集合には、同じ元はふたつ入りません。


なので、まず {a,a,{b}} というものが存在しない。
従って、{a,a,{b}} ⊂ A は偽です。
存在しないものが、A の部分集合になることはありません。

立場によっては、そんなにイチビラないで
{a,a,{b}} = {a,{b}} と解釈してやれよ
という意見もありえるでしょう。その場合は、
あなたも指摘しているように、{a,{b}} ⊂ A は真です。

つまり、{a,a,{b}} の解釈次第だということになりますね。
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