微分方程式の問題です。 （1/cos^2y）dy/dx+4xtany=0 （1/cos^2y）dy/

微分方程式の問題です。

（1/cos^2y）dy/dx+4xtany=0

（1/cos^2y）dy/dx+4xtany=-4x


の一般解を求めるという問題です。

教えてください。

よろしくお願いいたします。

No.4 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/04/24 02:24

１．

（1/cos²y）dy/dx+4xtany=0 → dy/{cos²ytany}=-4xdx
u=tany とおく(du/dy=1/cos²y)。
du/u=-4xdx → log|u|=-2x²+C → u=Cexp(-2x²) (定数を改めてC)
→ tany=Cexp(-2x²)

2.
(1/cos²y）dy/dx+4xtany=-4x → dy/{cos²y(1+tany)}=-4xdx
u=tany とおく。
du/(u+1)=-4xdx → log|u+1|=-2x²+C
→ u+1=Cexp(-2x²) (定数を改めてC)
→ tany=Cexp(-2x²) + 1

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/04/24 13:00

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/24 09:27

編集ミスじゃない、本物のミスがあった。

y = -π/4 (定数) としてみると
dy/dx = 0, tan y = -1 より
(1/cos^2 y)dy/dx + 4x tan y = -4x が成り立ちます。

よって、(1/cos^2 y)dy/dx + 4x tan y = -4x の一般解は、
y = -π/4 + (1/2)cos^-1 { Ae^(4x^2) - 1 }/{ Ae^(4x^2) + 1 } と書けます。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/24 00:24

編集ミスの訂正：

y = π/4 (定数) としてみると
dy/dx = 0, tan y = 1 より
(1/cos^2 y)dy/dx + 4x tan y = -4x が成り立ちます。
これが、ひとつの特殊解になっていますね。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/04/23 21:54

前半：

(1/cos^2 y)dy/dx + 4x tan y = 0 は、
(1/cos^2 y)dy/tan y = -4x dx と変形できます。
変数分離形ですね。

∫(1/cos^2 y)dy/tan y = ∫1/(cos y sin y) dy
　　　　　　　　　　　= ∫2/sin(2y) dy
　　　　　　　　　　　= ∫sin(2y)/{ sin^2 (2y) } 2dy
　　　　　　　　　　　= ∫-1/(1 - u^2) du　； u=cos(2y)
　　　　　　　　　　　= (-1/2) ∫{ 1/(1-u) + 1/(1+u) }du
　　　　　　　　　　　= (-1/2) log｜(1+u)/(1-u )｜ + C　； Cは定数
より、
(-1/2) log｜(1+u)/(1-u )｜ + C = -2x^2 と解けます。
整理すると、
y = (1/2)cos^-1 { Ae^(4x^2) - 1 }/{ Ae^(4x^2) + 1 } と書けます。


後半：
(1/cos^2 y)dy/dx + 4x tan y = -4x の一般解は、
そのひとつの特殊解と
(1/cos^2 y)dy/dx + 4x tan y = 0 の一般解との和です。

y = π/4 (定数) としてみると
dy/dx = 0, tan y = 1 より
(1/cos^2 y)dy/tan y = -4x dx が成り立ちます。
これが、ひとつの特殊解になっていますね。

よって、(1/cos^2 y)dy/dx + 4x tan y = -4x の一般解は、
y = π/4 + (1/2)cos^-1 { Ae^(4x^2) - 1 }/{ Ae^(4x^2) + 1 } と書けます。

この回答へのお礼

助かりました。
ありがとうございました。
(難しかったですね)

お礼日時：2021/04/23 22:41

No.1 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2021/04/23 21:32

で、

躓いたのは何処ですか？

この回答へのお礼

完全微分方程式を使えると、e^(2x^2)の積分はできなくなってしまいました。
変数分離形の解法で1/sinycosyの積分は出来なくて、、、
詳しい途中式はいらないが、考え方を教えて欲しいです。
よろしくお願いします。

お礼日時：2021/04/23 21:41