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この回答ではconsumption per workerはsaving rate が21~22%のときに最大化?(maximized)されるとありますが、なぜconsumptionが1.15 (saving rateが40%)のときではなく1のときなのですか?

(英語の質問サイトでなかなかログインできなくてここで聞いてます。わかりづらくて申し訳ありません)

「マクロ経済 大学一年生」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 回答ありがとうございます!

    はい、しかし、こちらの画像が問題になりますが、まず質問(c)でconsumptionが最大化されるsaving rateは何パーセントか?とあります(赤線)。
    そのあとに、質問(d)で、MPK-δを求めよとあります(青線)。
    質問(d)を解いた後には、c が最大化されるのは s が21-22%の時と理解できましたが、質問(c)の時点(表の左四列しか分かっていない時点)では、cが一番大きいのはsが40%のときです。
    その時点でMPK-δを解けばいい話ではありますが、問題の順に解答は得られるはずですので、どうして21-22%という答えが出てきたのかを疑問に思いました。

    わかりづらく何度も質問をして申し訳ありません。
    答えていただけると幸いです。

    「マクロ経済 大学一年生」の補足画像1
    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/04/27 13:29

A 回答 (5件)

修正したMPK-δの表を書いておきましょう。

なお、あなたの表ではMPK-δkとなっていますが、MPK-δの間違いでしょう。MPKとはkを1単位増やしたときのyの増分だから、これと比較されるのはδkではなく、δ(資本1単位あたりの減耗分)だからだ。
y=k^0.4=k^2/5
k=(s/δ)^5/3
を思い出そう。最初の式から
MPK=0.4k^-0.6=0.4k^-3/5=0.4/k^3/5
となるので、2番目のkの値をδ=0.15に注意して代入すると、

MPK=0.4[(s/0.15)^5/3]^(-3/5)=0.4(s/0.15)^(-1)=0.4(0.15/s)
=0.06/s

となる。この右辺のsのところにs=0.10, 0.20, ,,,を代入してMPK-δの表をつくればよい。すると修正したMPK-δ欄は以下のようになる(確かめよ!)

s     MPK-δ

0.10 0.45
0.20 0.15
0.30 0.05
0.40 0
0.50 -0.03
0.60 -0.05
0.70 -0.06
0.80 -0.075
0.90 -0.083
1.00 -0.09

質問があったら、黙っていないで訊いてください!
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この回答へのお礼

とてもわかりやすい解答を、本当にありがとうございました。
最初の質問に添付した表は、クラスで配られたものです。

早く返信をしなくてすいませんでした。
やはりcが1.15の時が最大ではないということに、納得ができませんでした。

しかし、表の4列目が【MPK-δ】でなかったことは、全く気が付きませんでした!gootarohanakoさんの表を見て、やっと理解することができました。


問題をもう一度、最初から詳しく見てみました。
まず、(d)の問題に、それぞれのsaving rateの “the marginal product of capital net of depreciation” を求めるとあります。ここで問われている “depreciation” は、”δk“ : depreciation per worker : the amount of capital that depreciates each year. のことだと思ってました。なぜなら、δ は depreciation rate であって、depreciateする量ではないですから。

しかし、その配られた解答には、
To find the answer, calculate the marginal product of capital and then subtract depreciation, which is 15 percent of the value of the steady-state level of capital per worker.
とありました。
これは表のMPK-δk が正しいと前提とした解答です。

やはり、その解答自体が間違っていたのだと思います。

最初から最後までとてもわかりにくい文章でしたが、ありがとうございました。
gootarohanakoさんのおかげで、やっと理解することができました。他の解答を見ましたが、マクロ経済学にとても精通した方だと思いました。
私は、専門家の方に解答をもらってラッキーだと思います :DDDD
本当にありがとうございました!

お礼日時:2021/05/02 23:36

No3の計算を具体的に示してみましょう。


c = (1-s)(s/δ)^2/3
となることはいいですか?cを最大化するsの値はこの式をcで微分して0と置くことで得られる。よって、微分すると(合成関数の微分の公式を用いる)、
0 =dc/ds = -(s/δ)^2/3 + (1/3)(1-s)(s/δ)^(-1/3) (1/δ)
解くと
s=2/5=0.4
つまり、となる。計算が示すように、δの値は最適なsに影響しないことがわかる。このとき、資本の純限界性(MPK-δ)の値はいくらになるか?回答No2で求めた
y = k^0.4
をkで微分して
MPK=dy/dk=0,4k^(-0.6) (*)
を得るが、右辺のkは上で計算したsの最適値s=0.4のときいくらになるか?回答No2で計算したように
k=(s/δ)^5/3
より、これにs=0.4を代入し、k=(0.4/δ)^5/3となるが、これをMPK式の右辺に代入すると
MPK= 0.4[(0.4/δ)^5/3]^(-3/5)= δ
つまり、
MPK-δ=0
となる。sの最大値を先に計算しても後から計算しても、貯蓄が最大となるsの値(つまり、0.4)においては資本の純限界性の値は0となるのだ。
ところが、あなたの表ではそうなっていない!表が間違っているのだ。一番右の、MPK-δの欄をもう一度上の式(*)を使って計算しなおしてください!
もう一度いう。消費を最大化する貯蓄率はs=0.21-0.22のときではなく、s=0.4のときだ!
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表(Tabel)は誰が作成したの?問題に与えれていたのか、それともあなたが計算して作成したのか?


私の回答No2で計算した
k = (s/δ)^5/3
y = (s/δ)^2/3
c = (1-s)(s/δ)^2/3
を用いると、cが最大となるのはs=0.4のとき、したがって、そのときの消費は1.15となる。しかし、このときのMPL-δ≒0となって、表の値と合わない。表の-0.62ではない!表のMPL-δの欄は正しくない。この欄の値を修正すれば、s=0.4とMPL-δ=0が一致してあなたの疑問が解消するでしょう。
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一つ一つクリアしていきましょうか。

ソローの成長モデルで、生産関数はコブダグラスですね。
(a)y=f(k)=k^0.4となることはよいでしょうか?ただし、y=Y/L、k=K/L。
(b)定常状態均衡は
sf(k)=δk
つまり
sk^0.4=δk
のとき成立(ソローモデルの「公式」)。よって
k= (s/δ)^(5/3)                        (*)
これを(a)で得た式に代入して
y=(s/δ)^(2/3)
c=(1-s)y=(1-s)(s/δ)^(2/3)                  (**)

(c)いかなるsの値でy、cは最大化されるかという問はyについては明らか。yはsの増加関数なので、sは大きければ大きいほど、yは大きくなる。つまり、sは0と1の間の値なので、s=1のときyの定常均衡値は最大となる。
cについては右辺をsで微分して0と置けばよい。別解はNo.1で示した通り、まず
MPK=δ
となるkを見つける。
MPK=f'(k)=0.4k^(-0.6)=0.4/k^0.6であり、δ=0.15であるから、
MPK=δ
を解くと、
k=(4/15)^(5/3)
となる。これを(*)へ代入して、sを求め、求めたら、それを(**)に代入する。
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ソローの成長モデルを勉強していない?ゴールデン・ルールという概念は習っていないのでしょうか?ここで、(1人あたり)消費を最大化するといっているのは、1期かぎりの消費を最大化するのではなく、毎期毎期一定の一人当たり消費cを最大化するためには1人あたり資本kをいくらにしたらよいかを問うているのです。

毎期毎期消費できるために消費できる最大量は
c = y - δk=f(k)- δk
なので、cを最大にするkは両辺をkで微分して0とおくことで得られる。よって
0 = dc/dk = f'(k) - δ = MPK -δ
つまり、資本の純限界生産物MPK-δがゼロとなるkを選択するときだ。上の表からMPK-δが0となるのは、cが0.99-1.01となるとき、貯蓄率が0.21-0.22ということになる。
なお、y=f(k)を生産関数という。
この回答への補足あり
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