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教えて下さい。

z+w=zw
|z|=|w|=1
をみたす複素数z,wを全て求めよ。

A 回答 (2件)

下式から


z=cosθ+isinθ、w=cosφ+isinφ とすると

cosθ+cosφ=cosθcosφ-sinθsinφ
sinθ+sinφ=cosθsinφ+sinθcosφ

これらの両辺を2乗して、辺々加えると
左辺=2+2(cosθcosφ+sinθsinφ)=2+2cos(θ-φ)
右辺=(cosθcosφ)²+(sinθsinφ)²+(cosθsinφ)²+(sinθcosφ)²
  =(cosθ)²{(cosφ)²+(sinφ)²}+(sinθ)²{(sinφ)²+(cosφ)²}
  =(cosθ)²+(sinθ)²=1

したがって
cos(θ-φ)=-1/2 → sin(θ-φ)=±(√3)/2
すると
z/w=exp{i(θ-φ)}=-1/2±i(√3)/2

z={-1/2±i(√3)/2}w={(-1±i√3)/2}w

これを元の式に戻すと
z+w={(1±i√3)/2}w
zw={(-1±i√3)/2}w²

w≠0 だから
w=(1±i√3)/(-1±i√3)=(1∓i√3)/2
z={(-1±i√3)/2}(1∓i√3)/2=(1±i√3)/2 (複号同順)
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2021/05/18 16:13

|z|=|w|=1より


z=1(cosα+isinα)
w=cosβ+isinβ
とおける
以下便宜上、wの偏角β>zの偏角α として考えてみる
複素数の積の性質から |zw|=|z||w|=1
zwの偏角はzのwの偏角の和で α+β
ゆえに
zw=cos(α+β)+isin(α+β)
これら3点を複素数平面にプロット
ただし、zwの偏角>wの偏角β>zの偏角α に注意
z+wの位置は2パターン
z+wの位置がzwでz,w,zwはどれも大きさ1だからこれら3点とOは1辺1のひし形をなす。(対角線とひし形の2辺は正三角形)
①wの先でさらに60度回転した位置にz+wがくる場合
図からα+β-β=60°
β=α+240
⇔α=60,β=300
このことから
z=cosα+isinα=(1/2)+i(√3/2)
w=cosβ+isinβ=(1/2)+i(-√3/2)
(zとwを入れ替え当た物また可能)

②,zよりさらに60度回転した位置にz+wがあり z+wから60°回転の位置にwがある場合
図からα+β=α+60+360
β=α+120
⇔β=420
α=300
z=cos300+isin300
w=cos420+isin420
これは先のα=60,β=300の結果でz,wを入れ替えたものと一致
以上から
z=(1/2)+i(√3/2)
w=(1/2)+i(-√3/2)
or
z=(1/2)-i(√3/2)
w=(1/2)+i(√3/2)
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2021/05/01 21:25

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