[数Ⅰ]二次関数の移動の証明

二次関数の移動の証明が納得いきません

「C:y=f(x)のグラフをx軸方向にp、y軸方向にq平行移動したグラフをC´とし、C上の点(a,b)が平行移動によってC´上の点(x,y)に移るとする

このとき、x=a+p,y=b+qよりa=x-p,b=y-qで、
(a,b)はy=f(x)上の点なのでb=f(a)。よってy-q=f(x-p)となり、これがC´の方程式である」

とテキストには載っているのですが、この説明だと平行移動した先のC´上の点を(c,d)とおくと最終的に出てくる方程式がc-q=f(d-p)になります。なんだか(x,y)とおいたからそれっぽい方程式ができたような気がします。

もともと具体的な数字を文字におきかえただけだと別の範囲のところで教わりました。なら、おきかえる文字によって成り立たくなるのはおかしくないですか？

どなたかご説明お願いします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/05/01 17:57

「二次関数の移動」は、「原点の移動」と考えた方が分かりやすいです。

原点を移動して、新たな座標軸での二次関数を考えるのです。
同じ x, y を使うと紛らわしいので、初めの座標系を (x, y)、移動後の座標系を (x', y') としましょう。

最初の座標軸で
　y = f(x)　　　　①
であったものを、x軸方向にp、y軸方向にq平行移動すれば、曲線を固定して原点 -p, -q だけ移動したと考えて、新しい座標軸 x', y' では
　x' = x + p
　y' = y + q
従って
　x = x' - p
　y = y' - q
これを①に代入すれば
　y' - q = f(x' - p)
これが、新しい原点・座標軸での二次曲線です。


＞もともと具体的な数字を文字におきかえただけだと別の範囲のところで教わりました。なら、おきかえる文字によって成り立たくなるのはおかしくないですか？

何を言っているのか、意味不明です。

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/05/01 18:07

c=a+p , d=b+q より、

a=c-p , b=d-q なので、
d-q=f(c-p)

よって、
y-q=f(x-p) は成り立っています。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/01 19:20

＞ C’上の点を(c,d)とおくと最終的に出てくる方程式がc-q=f(d-p)になります。

なりません。d-q=f(c-p)になります。
もう少し気をつけて計算しないとね。

C上の点(a,b)がb=f(a)を満たすことを
　　『Cの方程式はy=f(x)』と表現するのなら、
C’上の点(c,d)がd-q=f(c-p)を満たすことは
　　『C’の方程式はy-q=f(x-p)』と表現するべきですよね？

Cの話をするときとC’の話をするときで、
式に現れる x,y が表すものが違っていることには注意しましょう。
Cの式での(x,y)はC上の点の座標を
C’の式での(x,y)はC’上の点の座標を表していて、別々のものです。
(a,b)と(c,d)で書いたほうが混乱が少ないかもしれない。