真空中の点OにQの点電荷があり、この電荷が作る静電界をEと表す、また点Oを中心とする半径rの球面をS

真空中の点OにQの点電荷があり、この電荷が作る静電界をEと表す、また点Oを中心とする半径rの球面をS1、球面S1を内部に含む任意形状の閉曲面をS2とし、これらの曲面んl外向き単位方線ベクトルをnと書く。
a)点Oとは異なる点をXとする、点Oを原点とし、点Xの位置ベクトルをxで表す。Xにおける電界Eをx、Q、ε0で表せ。
b)電界Eは点O以外で①の式を満足することを、 aの結果を用いて表せ。　divE=0 ①
c)電界Eを球面S1で積分を行うことにより②式が得られることを、 aの結果を用いて示せ。　∫ [S1]E・nd S=Q/ε0 ②
d) 電界Eを球面S2で積分すると③式が得られることを、bとcの結果を用いて示せ。　　∫ [S2] E・nd S=Q/ε0 ③

質問者からの補足コメント

• 図はこちらです。

  
    補足日時：2021/05/02 12:02

• a) E=Qx/(4πε|x|^3) これ間違ってるかもしれない。
  
  b) は、、、div E=0ならQ=0がわかるが、、 aの結果を用いて表せることができないです。
  
  c) これ立体角を使えるかな、
  d)できないです。
  
  
  教えてください。
  
  よろしくお願いいたします。

    補足日時：2021/05/02 12:06

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/02 13:51

a)

合っています。ε → ε₀ですが。

b)
わかりにくいので x → <r>として
　E=(Q/4πε₀) <r>/r³
定数部は関係ないので、<r>/r³=<x/r³,y/r³,z/r³>の div を計算する。
　∂r/∂x=(∂/∂x)√(x²+y²+z²)=x/√(x²+y²+z²)=x/r
を使って

　(∂/∂x)(x/r³)=1/r³+x(-3/r⁴)(∂r/∂x)=1/r³-(3x/r⁴)(x/r)
　　　　=1/r³-(3x²/r⁵)
同様に
　(∂/∂y)(y/r³)=1/r³-(3y²/r⁵)
　(∂/∂z)(z/r³)=1/r³-(3z²/r⁵)

まとめて
　div <r>/r³=3/r³-3(x²+y²+z²)/r⁵=3/r³-3r²/r⁵=0

ゆえに
　div E=0

c)
E=(Q/4πε₀) <r>/r³ は球対称だから S₁の半径 r(=一定)の球面で積
分する。なお、 E・n=(Q/4πε₀)/r²、∫dS=4πr²　だから

　∫[S₁]E・ndS=(E・n)∫dS={(Q/4πε₀)/r²}(4πr²)=Q/ε₀

d)
S₁とS₂の面を微小な細いトンネルで接続して、S₁とS₂の面を一体と
した表面で、S₁とS₂で囲まれた内部Vで、 div E=0 を体積分すると、
ガウスの定理を使って(接続トンネルの部分は無視できる)

　0=∫[V]div E dv=∫[S₁+S₂] E・n'dS=∫[S₁] E・n'dS+∫[S₂] E・n'dS
　 → ∫[S₂] E・n'dS= -∫[S₁] E・n'dS

ところが、S₂面で n=n' 、S₁面では n'は内部を向いているから n=-n'
となり、結局
　∫[S₂] E・ndS= ∫[S₁] E・ndS=Q/ε₀
を得る。

この回答へのお礼

非常に助かりました。
いつも教えてくれて本当にありがとうございました。
これからもっと頑張ります！

お礼日時：2021/05/02 14:14

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/05/02 17:33

b) a)の結果をdivの定義通りに計算するだけです。

c)面積ベクトルの法線とEが平行だから
②の左辺=4πr^2|E|=Q/ε
d)これは純粋に数学の定理で「ガウスの発散定理」として広く知られてます。
ストークスの定理等と並んで、ベクトル解析の基本的な定理のひとつ。
解説もネット上に無数に有ります。教科書にも絶対に載っている定理です。
教科書をよく読みましょう。