数学の証明問題

こんにちは

さっき思いついた簡単な計算式が、いざ証明しようとすると難解で自力で解くのは無理でした。検索のやり方もわからず、悶々としているので答えを教えていただきたいです。
以下が計算式になります。

m^n = (m-1)^n + Σ[k=1...n] {m^(n-k) × (m-1)^(k-1)}

よろしくお願いいたします

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/05/03 13:02

n=1 のとき、m=(m-1)+m^0・(m-1)^0=m で与式は成立。

nのとき、与式の成立を仮定

n → n+1のとき、与式の右辺は
(m-1)^(n+1)+Σ[k=1...n+1] {m^(n+1-k)・(m-1)^(k-1)}
=(m-1)^(n+1)+Σ[k=1...n] {m^(n+1-k)・(m-1)^(k-1)}
+m^(n+1-(n+1))・(m-1)^(n+1-1)

=(m-1)^(n+1)+mΣ[k=1...n] {m^(n-k)・(m-1)^(k-1)}
+m^(0)・(m-1)^(n)

=(m-1)^(n+1)+m{m^n-(m-1)^n} +(m-1)^(n)
=(m-1)^(n+1)-m(m-1)^n+(m-1)^n+m・m^n
=(m-1)^(n+1) - (m-1)(m-1)^n +m・m^n
=m^(n+1)

したがって、与式が証明された。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/05/04 01:16

・m^n - (m-1)^n を因数分解

・右辺の和が「等比数列の和」であることを使う

本質的にはどちらも同じ.