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大学の行動経済学の課題で 
p(空集合)=0を示しなさい
というものが出ました。高校で確立はやったので空集合がどういうものかというのは理解しているのですが、この問題はどうやって書き始めたらいいのか、どういう風に結論を導き出せばいいのかよくわかりません。大学の授業では確立の基本をやっただけで、例題などもなくいきなりこの問題が出されました。ヒントや、こういう風に書けばいいよなど教えてくださる方がいましたらお願いします。

A 回答 (1件)

その p というのは、 p(X) が事象 X の生起確率を表す


という意味で書いているんでしょうね。

証明は、まず、空集合 φ が事象であることから述べましょう。
事象とは、全事象上のある σ集合族の元のことですが、
σ集合族の公理のなかに、 φ が元であることは含まれます。
よって、全事象 Ω がどんな集合であろうとも、φ は事象のひとつです。

このため p(φ) が定義されるのですが、その値は、
測度の公理のひとつ p(A⊕B) = p(A) + p(B) から
1 = p(Ω) = p(Ω⊕φ) = p(Ω) + p(φ) = 1 + p(φ) によって
p(φ) = 0 と求められます。

以上の説明が読んでもチンプンカンプンな場合には、
積分論の教科書を読みましょう。 最初のほうの章で
測度の定義が書いてあるとこだけで十分ですから。
経済学部の学生さんだと、数学書は少し敷居が高いかもしれませんが、
積分の定義くらいは押さえておかないと、今後講義に出てくる
確率の話がサッパリ解らなくなって、立ち往生してしまいます。
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