2次関数y=x2乗+3t2乗ー2tの最小値mをtの式で表せ。また、mをtの関数とみなすとき、mの最大値とそのときのtの値を求めよ。

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A 回答 (6件)

実数条件は、そもそもx^2≧0判断している時点で使用してますね。



普通最小とか最大とかの話が出てきたら実数が前提の話になりますから問題文にはなくても必ず実数条件をつける必要があります。

ちなみに実数条件とは、解の公式のうちの√内の
b^2-4ac (普通「D」とあらわします)
の部分の正負で判断できます。

D≧0 実数解2個
D=0 実数解1個
D<0 虚数解2個

以上です。
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 あのう、miku0004さんのおっしゃる「実数条件」って



どこから出るのでしょうか?

 いくら考えても分からないのですが・・・
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こりゃ失礼。

miku0004さんの仰る通り、実数条件を忘れてました。
しばらく問題解いてないのですっかりカンが鈍ってしまいました。
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piro19820122さんの回答に、実数条件とかつきませんか?



D=-4×(3t^2-2t)>=0
t(3t-2)<=0
0<=t>=2/3

これで最大値0がでます(t=0,2/3の時)
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直接問題とは関係ありませんが、


xの何乗とかを表すのにいちいち「x3乗」とか書いてると
面倒な上に見ても数式に見えなくて、答える側も躊躇します。

「^」という記号があります。キーボードの右上の方にある山形の記号です。
これがべき乗を表す演算子です。
xの3乗なら x^3 、tの2乗なら t^2 と表します。

こうすると
    y=x2乗+3t2乗ー2t

    y = x^2 + 3t^2 - 2t
となり数式らしくなります。

始めはなじみにくいかもしれませんが、一般に使われている方法なので
質問する時はこれを使ってみてください。
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y = x^2 + 3t^2 -2t


= x^2 + (3t^2-2t)
yはxの関数ですから、(3t^2-2t)は定数と見なせます。
このとき、yはx=0のときに最小値をとります。

すなわち m=3t^2-2t
∴m = 3(t-1/3)^2 - 1/3

mは最小値-1/3 (t=1/3のとき)
mは最大値なし(無限大)

あれ? 問題が間違っていませんか?
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Aベストアンサー

いずれにしても、置き換えが必要になる。

sinx=t とすると、|t|≦1 。条件式は、1-2t^2-t=a と変形できる。

ここで先に説明しとくが、置き換えた時に、xとtの対応を考えなければならない。三角関数で、置き換えた時は、常に元の変数と置き換えた変数の対応関係に注意が必要。
例えば、sinx=t=1の時は、x=π/2。sinx=t=0の時は、0、π 。sinx=t=1/2の時は、x=π/6、5π/6。sinx=t=-1の時は、x=3π/2、sinx=t=-1/2の時は、x=7π/6、11π/6のようになる。
つまり、0≦x<2πの時 t=±1の時は、xとtの対応は1対1。それ以外では、xとtの対応は1対2となるから、題意を満たすには、tが |t|<1の範囲に異なる2個の実数解を持つと良い。

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いずれにしても、置き換えが必要になる。

sinx=t とすると、|t|≦1 。条件式は、1-2t^2-t=a と変形できる。

ここで先に説明しとくが、置き換えた時に、xとtの対応を考えなければならない。三角関数で、置き換えた時は、常に元の変数と置き換えた変数の対応関係に注意が必要。
例えば、sinx=t=1の時は、x=π/2。sinx=t=0の時は、0、π 。sinx=t=1/2の時は、x=π/6、5π/6。sinx=t=-1の時は、x=3π/2、sinx=t=-1/2の時は、x=7π/6、11π/6のようになる。
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解説をお願いします。

Aベストアンサー

z=x^2+4xy+5y^2-6y=x^2+4xy+4y^2+y^2-6y=(x+2y)^2+(y-3)^2-9と変形できる。
これと、(x+2y)^2+(y-3)^2≧0より、z≧-9
したがって、z=-9となるようにx、yをもとめる。
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それとも見当違いですか?
教えてください。

今気付いたら、★のところまでしか求めてないから、見当違いっぽいですね!?(y=~にしてないし・・・。)
そんなわけで、正答を・・・。 m(__)m

Aベストアンサー

回答を求めてるみたいなので一応全部書きますね
下の続き~
y=-2t^2+2t+1 -1≦t≦1・・・・(1)
ここで頂点がわかる形にもってきます~!

y=-2(t-2/1)+2/3・・・・(2)

(1)と(2)を考慮してグラフを書きますね
すると
最大値t=2/1のときで2/3
最小値t=-1のときで-3となります

グラフはここにかけないのでごめんなさい~m(_ _)m

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竜千士 翔でした~☆

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1) x-2y=k とおき、x^2+2xy+4y^2=9 に代入して、xまたはyを消去します。
  ここでは 2y=x-k として xを消去します。
   x^2+x(x-k)+(x-k)^2=9
  ⇔3x^2-3kx+k^2-9=0  ・・・・★

2) 「x^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値を求める問題」は
  「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つときのkの最大値・最小値を求める問題」
と同じです。
  ですので、1)で得たxの2次方程式が実数解をもつことが「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つこと」と同値です。
  従って、2次方程式★の判別式から
   9k^2-12(k^2-9)≧0
  ⇔k^2≦36
  ∴-6≦k≦6
となります。
 ここから 最大値 6、最小値-6を得ます。

3) 最大・最小となるx、yの値を求めます。
  k=±6 のとき 式★の2次方程式は (x干3)^2=0 となりますので、その解は x=±3 となります。(複号同順)
 また、yの値は k=±6, x=±3 のとき y=(x-k)/2=±(3-6)/2=干3/2 となります。(複号同順)

 従って、最大値は(x,y)=(3,-3/2)のとき 6 で、最小値は(x,y)=(-3,3/2)のとき -6 となります。

1) x-2y=k とおき、x^2+2xy+4y^2=9 に代入して、xまたはyを消去します。
  ここでは 2y=x-k として xを消去します。
   x^2+x(x-k)+(x-k)^2=9
  ⇔3x^2-3kx+k^2-9=0  ・・・・★

2) 「x^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値を求める問題」は
  「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つときのkの最大値・最小値を求める問題」
と同じです。
  ですので、1)で得たxの2次方程式が実数解をもつことが「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つこと」と同値です。...続きを読む

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