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相反方程式の問題の解き方を教えてください。「k を実数の定数とする。x の方程式 x^5 + kx^4 + 3kx^3 + 3kx^2 + kx + 1 = 0 ……①とする。方程式①は k の値に関係のない解x=−1をもつ。この方程式が実数解をただ 1 つだけもつような k の値の範囲を求めよ。」

A 回答 (2件)

x^5+kx^4+3kx^3+3kx^2+kx+1=0



(x+1)(x^4+(k-1)x^3+(2k+1)x^2+(k-1)x+1)=0
だから
方程式
x^4+(k-1)x^3+(2k+1)x^2+(k-1)x+1=0

実数解を持たなければよい

x=0の時
x^4+(k-1)x^3+(2k+1)x^2+(k-1)x+1=1>0だから
x≠0だから両辺をx^2で割って
x^2+(k-1)x+(2k+1)+(k-1)/x+1/x^2=0
x^2+1/x^2+(k-1)(x+1/x)+2k+1=0
(x+1/x)^2+(k-1)(x+1/x)+2k-1=0
x+1/x=tとすると
t^2+(k-1)t+2k-1=0

f(t)=t^2+(k-1)t+2k-1
とする
x+1/x=t
↓両辺にxをかけると
x^2+1=tx
x^2-tx+1=0
0≦(x-t/2)^2=(t^2-4)/4
t^2-4≧0
t≦-2.or.2≦t
だから
t≦-2.or.2≦t
での
最小値f(t)>0となればよい

f(-2)=4-2(k-1)+2k-1=5>0
f(2)=4+2(k-1)+2k-1=4k+1>0
だから
k>-1/4
でなければならない

f(t)=t^2+(k-1)t+2k-1
f(t)={t+(k-1)/2}^2+(-k^2+10k-5)/4

(i)f((k-1)/2)>0の場合

-k^2+10k-5>0
k^2-10k+5<0
5-2√5<k<5+2√5
↓-1/4<5-2√5だから
5-2√5<k<5+2√5

(ii)-2<(k-1)/2<2の場合
-3<k<5
↓k>-1/4だから
-1/4<k<5

(i)または(ii)の条件いずれかであればよいので


-1/4<k<5+2√5
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x^5 + kx^4 + 3kx^3 + 3kx^2 + kx + 1 = 0


x=-1はこの方程式の解であるから(x+1)で割り切れて、
(x+1){x^4+(k-1)・x^3+(2k+1)・x^2+(k-1)x+1}=0
と式変形できる。
そして、x^4+(k-1)・x^3+(2k+1)・x^2+(k-1)x+1=0 なる方程式が実数解を持たなければ良いことになるので、そちらを検討していく。
  ↓
ここがミソだと思う。もしくは、常にx^4+(k-1)・x^3+(2k+1)・x^2+(k-1)x+1>0となるようなkの条件を求めればいいことになる。

x=0は方程式x^4+(k-1)・x^3+(2k+1)・x^2+(k-1)x+1=0を満たさないのでx≠0だから両辺をx^2で割って
x^2+(k-1)x+(2k+1)+(k-1)・(1/x)+(1/x)^2=0
x+(1/x)=tとおいて t^2=x^2+2+(1/x)^2 より
f(t)=x^2+(k-1)x+(2k+1)+(k-1)・(1/x)+(1/x)^2
=t^2-2+(k-1)t+(2k+1)
=t^2+(k-1)t+(2k-1)

ところで、x+(1/x)=t の両辺にxをかけて
x^2-tx+1=0
判別式D=t^2-4≧0
t≦-2、2≦t
つまり、xが実数であるならば、x+1/xは-2以下、もしくは2以上の値を取る。
逆に言うと、-2<t<2の定義域でf(t)=t^2+(k-1)・t+(2k-1)=0となれば、そのようなtに対応する実数xは存在しないので、題意を満たすことになる。

(i)f(-2)>0かつf(2)<0
 これを解くと k<-1/4
(ii)f(-2)<0かつf(2)>0
 この条件を満たすkは存在しない。
(iii)f(-2)>0かつf(2)>0かつ放物線の軸である-2<-(k-1)/2<2かつ最小値である-{(k-1)/2}^2+(2k-1)≦0
-2<-(k-1)/2<2 より、-3<k<5
-{(k-1)/2}^2+(2k-1)≦0 より
k^2-10k+5≧0
k≦5-2√5、5+2√5≦k
2.2^2=4.84、2.3^2=5.29より、2.2<√5<2.3
故に、-3<k≦5-2√5(≒0.6)

(i)、もしくは(iii)の条件のいずれかであればいいので、題意を満たすkの範囲は k<-1/4 である。
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以上でよろしいかと思うのですが・・・。
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