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aを1未満の正の無理数とします。

十分大きなすべてのp(あるPがあってp>P を満たすすべてのp)に対して、ある正の整数qが存在して、
     q/p < a < (q+1)/p
とできる。

この命題はあっているでしょうか?

gooドクター

A 回答 (8件)

すべての p に対して、ある正の整数 q が存在して、q/p < a < (q+1)/p


ですよね。 q が p には依存することを示唆する文章だから、
q = [ap] でよいでしょう。
[ ] はガウス記号。 [x] で、x を越えない最大の整数を表します。
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命題はよくわかりませんが,以前読んだ数学の本に数の話が載っていて,数直線が切れ目なく続いているのは,無理数があるからだと説明がありました。


そして,何と有理数よりも圧倒的に無理数の方が多いことも。
なので,無理数を有理数で挟むことはできないが,逆は可能だと思います。
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0<a<1となるaを無理数とする


どんな大きなPに対しても
aP<nとなる整数nが存在する
p=n/a
とすると
P<n/a=p
n=apは整数だから
q<ap<q+1
となるような整数qは存在しない
ので
その命題は間違いです
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qは固定できずpの関数になります。

そうでなければqに何を選んでもpが大きくなっていくとq/pも(q+1)/pも0に収束するのでダメでしょう。
逆にqをpの関数にして良いなら、どのpに対してもq=[pa]とすればq<pa<q+1になります。aが無理数としているのでq=paになってしまうことはありません。
# ここで[x]はxの整数部分
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あってます。


十分大きな、でなく、すべての正の整数pについて(pに応じてqを選べば)いえます。
aは無理数だから、a=n/mとなる整数はありません。0<a<1 だから、0/p<a<p/p 。よって、どこかのq(0≦q<p)で、q/p<a<(q+1)/p となります。
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どれが p で、どれが q か よく分かりませんが、


1未満の 正の数に対して、無理数であるなしに拘わらず、
特定の p, q に対して q/p<a<(q+1)/p が成り立つのでは?
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P > 1/a を固定して, p > P に対して


a の p進法表記
を考える, かな.
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q<pa<q+1 



一つの無理数paは一つのみのqとq+1の間にありますから、すべてのp について成り立つということはないですね。
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