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線形代数の問題です。
a)λ1=6、λ2=1 λ1=6に対する固有ベクトル列ベクトルx1=[-2 1] λ2=1 に対する固有ベクトル列ベクトルx2[1/2 1]
b)Pは[ -2 1/2 ]
[ 1 1 ] 対角化するとλ6と1になるとわかります。

c) yの転置行列は[0 1] より、
y^TB^ny=[1]
d) はできないです。


cとd は自信がないので、教えてください。


よろしくお願いいたします。

「線形代数の問題です。 a)λ1=6、λ2」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • aとb

    「線形代数の問題です。 a)λ1=6、λ2」の補足画像1
      補足日時:2021/05/08 09:31
  • c

    「線形代数の問題です。 a)λ1=6、λ2」の補足画像2
      補足日時:2021/05/08 09:32
  • d)
    B^nはPDP^Tで計算するのですか。


    教えてください。

    「線形代数の問題です。 a)λ1=6、λ2」の補足画像3
      補足日時:2021/05/08 09:43
  • d)

    「線形代数の問題です。 a)λ1=6、λ2」の補足画像4
      補足日時:2021/05/14 14:11
gooドクター

A 回答 (5件)

#1 の最後に書いてあることは分かった?

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この回答へのお礼

わかりました。
ありがとうございます。

お礼日時:2021/05/16 01:57

(d) についていうと固有ベクトルはなにを使ってもいい. 特にノルムがどうでなければならないとかいう条件はない.



ただ, 「なぜわざわざ固有ベクトルの一次結合で書いたのか」というのは考えてほしい.
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
ようやくできました、、、
一週間かかりましたが、、、

お礼日時:2021/05/14 14:12

「一次結合」であることと転置をつけていることとは今の場合無関係. (c) の問題文で転置がついていることに気付いてる? あと, ノ

ルムは内積で計算できる.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
「行列Bの固有ベクトルの一次結合により表せる」って(a)の問題文で解いたの固有ベクトル使うとダメですか。

お礼日時:2021/05/08 09:00

(b) では「直交行列 P」と書いてあるので「長ささえそろっていればいい」というわけにはいかず「どれもが単位ベクトルになるようにす」る必要がありますね>#1. しかもそのせいで質問者が (c) の計算を間違えるという....



(d) については転置の ^T を付けないとダメ. あと「|B^nw|の計算」ってなに?
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
bは理解できました。
dについてはどうして一次結合のとき転置を付けていますか。
|B^nw|の計算は ベクトルvの分母の計算ですが、、そちらが理解できてないです。

教えてください。
よろしくお願いいたします。

お礼日時:2021/05/08 00:34

(a) あっています。


 固有値 2 に対する固有ベクトルを
 なぜ [1 2]^T でなく [1/2 1]^T にしたのかは謎だけど、
 あってはいる。 正解はひとつじゃないから、
 [1/2 1]^T でもかまいませn。

(b) あっていません。
 P を直交行列にしないといけないので、
 固有ベクトルを並べればいいというわけではありません。
 各列ベクトルの長さを同じにしないと。
 どれもが単位ベクトルになるようにすればいいのだけれど、
 長ささえそろっていればいいから
 P = [-2 1]
   [1 2] でもかまいません。
 P の列の並び順と対角行列の対角成分の並び順は同じなので、
 (P^-1)BP = [6 0]
      [0 1」 です。 この行列を = D と置きます。

(c) 「できない」って何ですか?
 y が 1 行 2 列の行列を転置した 2 行 1 列 の行列なら、
 (y^T)(B^n)y の積はちゃんと定義されますよ。
 (y^T)(B^n)y = (y^T)((PD(P^-1))^n)y
      = (y^T)(P(D^n)(P^-1))y
      = (y^T)P(D^n)(P^T)y
      = (z^T)(D^n)z    ; z = (P^T)y と置いた
 D^n は、D が対角行列だから簡単に求められますね。
 D^n = [6^n 0]
    [0  1] です。 あとは、単純計算。

(d) [-2 1]^T と [1 2]^T が一次独立なので、
 R^2 の任意のベクトル w は、 w = a [-2 1]^T + b [1 2]^T
 (a,bは実数) と表すことができます。
 これにより、 (B^n)w = (6^n)a [-2 1]^T + (1^n)b [1 2]^T
 となります。 あと、(B^n)w/|(b^n)w| を 6^n で約分すれば完了です。
 問題の極限は、 a ≠ 0 の場合は [-2 1]^T、
       a = 0 の場合は [1 2]^T になります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
c) (y ^T)P(D^n)(P ^T)y=
  [0 1][-2 1] [6^n 0 ] [-2 1 ] [0]
    [1 2] [0 1 ] [ 1 2 ] [1]
=[1 2] [6^n 0 ] [-2 1 ] [0]
   [0 1 ] [ 1 2 ] [1]
= [6^n 2 ] [-2 1 ] [0]
   [ 1 2 ] [1]
= [(-2)6^n+2 6^n+4] [0]
   [1]
=[6^n+4]
でしょうか。

d)「[-2 1] ^Tと[1 2] ^T が一次独立なので」は転置行列じゃなくてもいいですか。^Tを書かなくてもいいでしょうか。
|B^nw|の計算はわからないです。

たくさん質問で申し訳ないです。
勉強不足のですみません。
教えてください。
よろしくお願いいたします。

お礼日時:2021/05/07 21:52

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