No.3
- 回答日時:
「一次結合」であることと転置をつけていることとは今の場合無関係. (c) の問題文で転置がついていることに気付いてる? あと, ノ
ルムは内積で計算できる.ありがとうございます。
「行列Bの固有ベクトルの一次結合により表せる」って(a)の問題文で解いたの固有ベクトル使うとダメですか。
No.2
- 回答日時:
(b) では「直交行列 P」と書いてあるので「長ささえそろっていればいい」というわけにはいかず「どれもが単位ベクトルになるようにす」る必要がありますね>#1. しかもそのせいで質問者が (c) の計算を間違えるという....
(d) については転置の ^T を付けないとダメ. あと「|B^nw|の計算」ってなに?
ありがとうございます。
bは理解できました。
dについてはどうして一次結合のとき転置を付けていますか。
|B^nw|の計算は ベクトルvの分母の計算ですが、、そちらが理解できてないです。
教えてください。
よろしくお願いいたします。
No.1
- 回答日時:
(a) あっています。
固有値 2 に対する固有ベクトルを
なぜ [1 2]^T でなく [1/2 1]^T にしたのかは謎だけど、
あってはいる。 正解はひとつじゃないから、
[1/2 1]^T でもかまいませn。
(b) あっていません。
P を直交行列にしないといけないので、
固有ベクトルを並べればいいというわけではありません。
各列ベクトルの長さを同じにしないと。
どれもが単位ベクトルになるようにすればいいのだけれど、
長ささえそろっていればいいから
P = [-2 1]
[1 2] でもかまいません。
P の列の並び順と対角行列の対角成分の並び順は同じなので、
(P^-1)BP = [6 0]
[0 1」 です。 この行列を = D と置きます。
(c) 「できない」って何ですか?
y が 1 行 2 列の行列を転置した 2 行 1 列 の行列なら、
(y^T)(B^n)y の積はちゃんと定義されますよ。
(y^T)(B^n)y = (y^T)((PD(P^-1))^n)y
= (y^T)(P(D^n)(P^-1))y
= (y^T)P(D^n)(P^T)y
= (z^T)(D^n)z ; z = (P^T)y と置いた
D^n は、D が対角行列だから簡単に求められますね。
D^n = [6^n 0]
[0 1] です。 あとは、単純計算。
(d) [-2 1]^T と [1 2]^T が一次独立なので、
R^2 の任意のベクトル w は、 w = a [-2 1]^T + b [1 2]^T
(a,bは実数) と表すことができます。
これにより、 (B^n)w = (6^n)a [-2 1]^T + (1^n)b [1 2]^T
となります。 あと、(B^n)w/|(b^n)w| を 6^n で約分すれば完了です。
問題の極限は、 a ≠ 0 の場合は [-2 1]^T、
a = 0 の場合は [1 2]^T になります。
ありがとうございます。
c) (y ^T)P(D^n)(P ^T)y=
[0 1][-2 1] [6^n 0 ] [-2 1 ] [0]
[1 2] [0 1 ] [ 1 2 ] [1]
=[1 2] [6^n 0 ] [-2 1 ] [0]
[0 1 ] [ 1 2 ] [1]
= [6^n 2 ] [-2 1 ] [0]
[ 1 2 ] [1]
= [(-2)6^n+2 6^n+4] [0]
[1]
=[6^n+4]
でしょうか。
d)「[-2 1] ^Tと[1 2] ^T が一次独立なので」は転置行列じゃなくてもいいですか。^Tを書かなくてもいいでしょうか。
|B^nw|の計算はわからないです。
たくさん質問で申し訳ないです。
勉強不足のですみません。
教えてください。
よろしくお願いいたします。
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aとb
c
d)
B^nはPDP^Tで計算するのですか。
教えてください。
d)