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nを奇数とするとき、n^2-1は8の倍数であることを証明せよ。
(解答)奇数nは、kを整数としてn=2k+1と表される。このとき、n^2-1=(2k+1)^2=4k(k+1)
k(k+1)は連続する2つの整数の積であるから、これは偶数である。よって4k(k+1)は8の倍数であるから、n^2-1は8の倍数である。
ここで質問なのですが、ある数が2の倍数かつ3の倍数なら2と3が互いに素なのである数は6の倍数となり、
ある数が4の倍数かつ6の倍数なら4と6は互いに素ではないので、最小公倍数をとってある数は12の倍数とするとおもいます。4k(k+1)は2の倍数かつ4の倍数で2と4は互いに素でないので最小公倍数をとって結果4の倍数になるという証明にしかならないとおもうのですが、どうして8の倍数になるとしめされているのですか?

質問者からの補足コメント

  • あ!4と2の倍数だから8の倍数ってことですか?
    最小公倍数をみるのは倍数と倍数のときってことですか?

      補足日時:2021/05/07 23:12
  • 3とはなんですか?

      補足日時:2021/05/07 23:25
  • 8の倍数にもなりませんか?

      補足日時:2021/05/08 02:31
  • 4k(k+1)は4の倍数でもあり2の倍数でもあるから4の倍数になるのかとおもいきや、4は確定しているから4の倍数になるにはk(k+1)が1.2.3....となれば良いが
    kが偶数と奇数のときにわけて考えてみるとk(k+1)は絶対偶数になるから絶対8の倍数になることがわかる。だから4×偶数で絶対8の倍数になるということですね。ということは、数字と文字を別々に考えて最後に掛け合わせると私の考えで毎回いけるというわけですか。

      補足日時:2021/05/08 18:12
gooドクター

A 回答 (12件中1~10件)

Aが4の倍数であり、6の倍数でもあるときAは12の倍数と言える。


(Aが24の倍数とは言えない)

Aが4の倍数であり、Bが6の倍数のときA×Bは24の倍数と言える。


4k(k+1)は、
4が4の倍数で、k(k+1)が2の倍数だから、その積っは8の倍数。
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kは偶数か奇数のどちらかである



(i)
kが偶数の場合
k=2m
となる整数mがある
4k(k+1)=4(2m)(2m+1)=8m(2m+1)

8の倍数になる

(ii)
kが奇数の場合
k=2m-1
となる整数mがある
4k(k+1)=4(2m-1)2m=8m(2m-1)

8の倍数になる

だから

4k(k+1)は8の倍数になる
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n=奇数の時、n=2k+1またはn=2k-1


n=2k+1の時、n²-1=(n-1)(n+1)へ代入して
2k(2k+2)=4*k(k+1),整数は奇数ー偶数ー奇数ー偶数と奇数と偶数が
代わりべんたん、代わりべんたんに並んでいるので
k(k+1)は必ず偶数2m。4*2m=8mで8の倍数。
>4k(k+1)は2の倍数かつ4の倍数で2と4は互いに素でないので最小公倍数を>とって結果4の倍数になるという証明にしかならないとおもうのですが、
そう考えると、k(k+1)に奇数も含まれることになって、仮定に矛盾します。
背理法からk(k+1)は偶数であることになります。
n=2k-1の時、n²-1=(n-1)(n+1)へ代入して
2k(2k-2)=4*k(k-1),整数は奇数ー偶数ー奇数ー偶数と奇数と偶数が
代わりべんたん、代わりべんたんに並んでいるので
k(k-1)は必ず偶数2m。4*2m=8mで8の倍数。
この問題は、4とk(k+1)の最小公倍数を求める問いではありません。
8の倍数かどうかを問うています。
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こんにちわ。


「3とは何ですか?」はメインのご質問とは無関係に思えるご質問ですが、私なりの回答をさせて頂きますと

「自然数であり(素数でもありますね)、2と4の間にある数」

です。これでご納得いただけるでしょうか。
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こんにちわ。


確かにご指摘のように、公倍数は最小公倍数の倍数です。そのため、最小公倍数は公倍数に含まれますが、ここでは倍数を求めているのであって最小公倍数を求めているわけではないのです。質問者様はこの点を飲み込み違いされているように思われます。

実際に例として、k=-3から3まで 4k(k+1) に代入してみますと

k=-3: 24, k=-2: 8,k=-1: 0,k=0: 0,k=1: 8,k=2: 24,k=3: 48

となり、8の倍数になります。

私の拙い説明でご理解いただけたでしょうか。
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k(k+1)は偶数で2の倍数だから



k(k+1)=2m

となる整数mがある

4k(k+1)=4*2m=8m


8の倍数
である
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> 8の倍数にもなりませんか?



2の倍数と4の倍数の積は、必ず8の倍数になります。
2の倍数かつ4の倍数である数は、4の倍数であれば十分であり、
8の倍数になることもあるけれど、8の倍数だとは限りません。
例えば4は、2の倍数かつ4の倍数であるけれど、
8の倍数にはなっていません。
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4k(k+1)は、単に2の倍数かつ4の倍数であるだけでなく、


2の倍数k(k+1)と4の倍数4の「積なので」8の倍数なのです。
(2a)(4b)=8(ab)だということです。
2の倍数かつ4の倍数であるだけなら、4の倍数にしかなりません。
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「4と2の倍数だから8の倍数」だと, ちゃんと理解できているのかそれとも勘違いしているのかが区別できないなぁ....



k が整数のとき k(k+1) は 2の倍数で, *それに 4 を掛けた* 4k(k+1) は*全体として* 8の倍数になる.

「3とはなんですか?」は何をいっているのかわからない. というか, その「3」ってどこから出てきた?
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kとk+1は1と2というのも考えられるので3は関係ないですね。

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