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空間ベクトルの問題の解き方を教えてください。
「原点をOとするxyz空間に3点A(2、2、4)、B(5、ー2、1)、C(1、ー2、5)があり、点Oを中心とし、点Aを通る球面をSとする。直線BCと球面Sの交点のうち、点Bに近い方をDとする。球面Sを平面OADで切った時の切り口に現れる扇形OADに対し、弧ADの長さを求める。」という問題です。(答えは2√6/3πです。)

gooドクター

A 回答 (2件)

丸投げだから消されそうだけど


簡単なので・・・

D=tB+(1-t)C=(4t+1、-2、-4t+5)
|D|^2=32t^2-32t+30=|A|^2=24
→32t^2-32t+6=0
→t=(1/64){32±√(32^2-32・4・6)}
=(1/4)(2±1)=3/4, 1/4
Bに近い方だからt=3/4
→D=(4、-2、2)
角度AOD=θとすると
(A・D)/(|A||D|)=cosθ=12/24=1/2 →θ=π/3
弧AD=|D|θ=√(24)・π/3=(2√(6)/3)π
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長さOA²=2²+2²+4²=24


S:(x-2)²+(y-2)²+(z-4)²=24・・・・・・①
直線BCの方向ベクトル: <l,m,n>=<1-5,-2-(-2),5-1>=<-4,0.4>
直線BCのの式: (x-5)/-4=(y+2)/0=(z-1)/4
  → y=-2 , z=6-x・・・・②

これを①にいれて x=0,4 となり、Bに近い方は x=4となる。②に戻して
D: (4,-2,2)
となる。
長さOD²=4²+(-2)²+2²=24
長さAD²=(2-4)²+(2-(-2))²+(4-2)²=24

つまり、OADは正3角形で∠AOD=π/3 だから、
弧ADは
(√24)π/3={2(√6)/3}π
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