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数学の解析で、挟み撃ちの原理、というのがあります。
「原理」なのですが、これって本当に正しいんでしょうか?

A 回答 (5件)

「原理」ってなんとなく妖しいですよね。


定理なのか定理じゃないのか言ってみろ!という感じ。
「鳩の巣原理」なんか、その正体はかなり難しい。
でも、「はさみうちの原理」なら、普通に定理だから安心です。
私は普段、「原理」ではなく「ハサミウチ定理」と呼んでいます。

定理の内容は、こうです。
関数 f(x), g(x) が常に f(x) ≦ g(x) を満たすならば、
極限について lim[x→a] f(x) ≦ lim[x→a] g(x) が成り立つ。
証明は、εδ論法による lim の定義を使えば簡単ですが、
高校範囲の微積分では不可能かもしれません。

この定理を使うと、
g1(x) ≦ f(x) ≦ g2(x) が常に成り立ち、かつ
lim[x→a] g1(x) = lim[x→a] g2(x) = b が収束するときは、
b ≦ lim[x→a] f(x) ≦ b より lim[x→a] f(x) = b になります。
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私の説明も妖しかったので、


もうちょっとちゃんとした奴を...

a に十分近い x で g1(x) ≦ f(x) ≦ g2(x) が成り立つならば、
g1(x) ≦ f(x) より liminf[x→a] g1(x) ≦ liminf[x→a] f(x),
f(x) ≦ g2(x) より limsup[x→a] f(x) ≦ limsup[x→a] g2(x).
ここで
lim[x→a] g1(x) = limsup[x→a] g2(x) = b が収束するならば、
b = lim[x→a] g1(x) ≦ liminf[x→a] g1(x) ≦ liminf[x→a] f(x)
≦ limsup[x→a] f(x) ≦ limsup[x→a] g2(x) = lim[x→a] g2(x) = b
より
liminf[x→a] f(x) = limsup[x→a] f(x) = b であると判る。
すなわち、 lim[x→a] f(x) は収束し、lim[x→a] f(x) = b.

limsup, liminf について説明するとあまりにも長くなるので、
そこは解析の教科書を読んでください。
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原理的には


「A=Bが直接言えない場合、A=CかつB=CとなるCが存在すればA=Bが言える」
の応用だからな。

これが疑わしいなら、数学の体系はガタガタなってしまう。
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正しく無ければ、微分・積分は間違ってる事になる。


ギリシャ時代から続く「賢明な諦め」と言う高度な概念。
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正しいとか正しくないとかではなくて「その方法が使える問題がある」と言う事だと思います。

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