nが自然数のとき、2^n +1 ＋3^2n−1 は7で割切れることを証明せよ。 という問題を合同式を

nが自然数のとき、2^n +1 ＋3^2n−1 は7で割切れることを証明せよ。
という問題を合同式を使った形で教えてください！！！

No.1 回答者： windwald 回答日時： 2021/05/09 12:36

まず与式の整数項を整理すると 2^n+3^2n となりますが、

n=1 のとき 2^1+3^2=2+9=11 であって 7 で割り切れないので
この問題は不可能です。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/05/09 13:13

正確に書いてくれ。

演算の順番法則からすると、2ⁿ+1+3²ⁿ-1となる。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/05/09 13:48

2^(n + 1) + 3^(2n - 1)

と書きたいんだろうなあ。
でも、そうは読めないよ。
そこが、まず「質問が成立していない」ということ。

もし上のようなことなら、
　n=1 のとき
　　2^2 + 3^1 = 4 + 3 = 7
　n=2 のとき
　　2^3 + 3^3 = 8 + 27 = 35
で成立しそうだね。

これは「数学的帰納法」がよさそう。
n=1 のとき、上のように命題は成立する。
n = k (k ≧ 2) のとき命題が成立すると仮定すれば、p を自然数として
　2^(k + 1) + 3^(2k - 1) = 7p　　　①
と書ける。
n = k+1 に対して
　2^(k + 2) + 3^(2k + 2 - 1)
= 2･2^(k + 1) + 9･3^(2k - 1)　　　②
①より
　2^(k + 1) = 7p - 3^(2k - 1)
として②に代入すれば
　②＝ 2[7p - 3^(2k - 1)] + 9･3^(2k - 1)
　　= 14p + 7･2^(k + 1)
　　= 7[2p + 2^(k + 1)]
従って②は7の倍数であり、従って n=k+1 に対しても命題は成立する。

以上のように、n=1 のとき成立し、n = k (k ≧ 2) のとき成立すると仮定すれば n=k+1 に対しても成立するので、任意の自然数 n に対して成立する。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/09 14:02

2^(n+1) + 3^(2n-1) = (2^n)・2 + (9^n)/3

　　　　　　　　　≡ (2^n)・2 + (2^n)/3
　　　　　　　　　= (2^n)( 2 + 1/3 )
　　　　　　　　　= (2^n)( 7/3 )
　　　　　　　　　≡ (2^n)( 0/3 )
　　　　　　　　　= 0.

No.5 回答者： lon_donburi_dge 回答日時： 2021/05/09 14:50

皆さん、合同式を使わないんですね。

まあ自分も指示がなければ
数学的帰納法で解くと思いますが。

で、合同式を使った形ですが、すべて書いたら質問者様のためにならないので。

ひとまずn=1～5くらいまで代入したらどんな数字が出るかやってみたら？
ヒントとしては、2^(n +1)と＋3^(2n−1)を分けて考えてみる。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/09 22:52

式に = を混在させたことが不適切だったので、訂正します。

2^(n+1) + 3^(2n-1) ≡ (2^n)・2 + (9^n)/3
　　　　　　　　　≡ (2^n)・2 + (2^n)/3
　　　　　　　　　≡ (2^n)( 2 + 1/3 )
　　　　　　　　　≡ (2^n)( 7/3 )
　　　　　　　　　≡ (2^n)( 0/3 )
　　　　　　　　　≡ 0.　　　　　　(mod 7)
法 7 が素数なので、合同式内で割り算をしても ok です。

有限体を持ち出さずに、剰余環だけで話したければ、
2^(n+1) + 3^(2n-1) ≡ (2^n)・2 + (9^(n-1))・3
　　　　　　　　　≡ (2^n)・2 + (2^(n-1)・3
　　　　　　　　　≡ (2^(n-1))( 2・2 + 3 )
　　　　　　　　　≡ (2^(n-1))・7
　　　　　　　　　≡ 0.　　　　　　(mod 7)
でもいいですね。 私は、上のほうが直感的だと思うけど。

No.7 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/05/16 21:23

a≡b のとき、a^k≡b^k を利用します。

2^(n+1) + 3^(2n-1)
≡2^(n-1+2) + 3^(2n-2+1)
≡2^(n-1)・2^2 + 3^{2(n-1)}・3^1
≡2^(n-1)・4 + (3^2) ^(n-1)・3
≡4・2^(n-1) +3・9^(n-1)
≡4・2^(n-1) +3・2^(n-1)
≡(4+3)・2^(n-1)
≡7・2^(n-1)
≡0 (mod 7)