教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

B,Cを空でないR^2の部分集合かつ閉凸集合とする。このとき、Bがコンパクトなら
B-C={x-y|x∈B,y∈C} が閉凸集合であることを示せ。というのが元の問題なのですが、特にBがコンパクトだとしなくても、a,c∈B, b,d∈Cとすれば、a-b+t(c-d-(b-d))(0<=t<=1)はa-t(c-a)-(b-t(b-d))となり、B,Cが凸集合だからa-b+t(c-d-(b-d))∈B-Cは明らか。そしてzがB-Cの触点なら任意のε>0に対して、zのε近傍をN(z,ε)とすればN(z,ε)∩B-C≠φ⇔あるa∈B,b∈Cがあってa-b∈N(z,ε)⇔|z-(a-b)|<ε⇔|z+b-a|ε⇔N(z+b,ε)∩B≠φ
Bは閉集合だから、z+b∈B⇔あるc∈Bがあってz+b=c⇔z=c-b∈B-C
となると思うのですが、証明のどこに不備があるのでしょうか。

gooドクター

A 回答 (2件)

B={(x,y)∈R^2|xy≧1}


C={(x,0)|x∈R}
とすると
B,CはR^2の閉凸集合

(0,0)∈B-Cと仮定すると
(0,0)=(b,y)-(c,0)=(b-c,y)
by≧1となるb,c,yがある
0=b-c
0=y
だから
by=0となってby≧1に矛盾するから
(0,0)はB-Cの要素ではない

任意のε>0に対して
n>1/εとなる自然数nがある
n(1/n)=1だから
(n,1/n)∈B
(n,0)∈C
(0,1/n)=(n,1/n)-(n,0)∈B-C
|(0,1/n)|=1/n<εだから
(0,1/n)∈{(x,y)||(x,y)|<ε}=N((0,0),ε)
(0,1/n)∈N((0,0),ε)∩(B-C)
だから
N((0,0),ε)∩(B-C)≠φ
だから
(0,0)∈cl(B-C)
(0,0)はB-Cの要素ではないから
cl(B-C)≠B-C
B-Cは閉ではない
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>zがB-Cの触点なら任意のε>0に対して、zのε近傍をN(z,ε)とすればN(z,ε)∩B-C≠φ⇔あるa∈B,b∈Cがあってa-b∈N(z,ε)


ということは、b,c はεに依存して決まるので、
>N(z+b,ε)∩B≠φ
にある、bはε毎に異なるので、z+b∈B とは限りません。

#z[n]→z, z[n]=a[n]-b[n] だからといって、a[n],b[n]が収束するとは限らない、ということです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。なるほど。bがεに依存するので、任意のεについてN(z+b,ε)∩B≠φが成り立つことが示せていないということですか?

お礼日時:2021/05/09 23:08

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