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自然数nと素数pの組みあわせで
(p-1) ! +1 = p^n
をみたすものをすべて求めよ。

教えてください。
よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

p=2の時


(p-1)!+1=(2-1)!+1=1+1=2=2^1=p^n
n=1

p=3の時
(p-1)!+1=(3-1)!+1=2+1=3=3^1=p^n
n=1

p=5の時
(p-1)!+1=(5-1)!+1=4!+1=24+1=25=5^2=p^n
n=2
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この回答へのお礼

これですべてかどうかはどうすればわかるのでしょうか?

お礼日時:2021/05/13 10:33

> (p-1) ! +1 = p が任意の素数で成り立ちますか・・・?



ああ、ウィルソンの定理 じゃないのか。
= p だと、成立はもっと少ないね。
p が大きくなると左辺のほうが増大が速いから、
確かにあまり大きな p に対しては成り立たない。
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この回答へのお礼

たしかにそのようですが…どのように評価すれば…?

お礼日時:2021/05/18 16:17

とりあえず今思い付くのは p=2, 3, 5. 素数 p に対して


(p-1)! ≡ -1 (mod p)
はよく知られているけど
(p-1)! ≡ -1 (mod p^2)
になるととたんに数が少なくなったはず. 2つか 3つくらいしか見付かってなかったような....
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この回答へのお礼

参考になりました。

お礼日時:2021/05/18 16:18

難しい。


(n = 1, p は任意の素数) が解であるのは当然だけど、
全ての解となると...
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この回答へのお礼

> (n = 1, p は任意の素数) が解であるのは当然

そうでしょうか・・・?
(p-1) ! +1 = p
が任意の素数で成り立ちますか・・・?

お礼日時:2021/05/10 13:32

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