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「原点Oを中心とする半径lの固定した円Cに対して、半径rの円Dは、円Cに外接しつつ、円Cの円周上をすべることなく反時計まわりに転がるものとする。はじめ、円Dの中心Rは(l+r、0)にあり、円Dの円周上に固定された点Pは(l、0)にあるものとして、円Dの転がりにつれて点P の軌跡が描く曲線をSとする。直線ORがx軸の正の方向となす角度をθ、直線ORが円Dの円周と交わる2点のうちOから遠い方の交点をQとして、以下に答えよ。
⑴点Rおよび点Qの座標をθを用いて表せ。
⑵点Pの座標(x、y)をθを用いて表せ。」
という問題の⑵について

解答の記載で、「ベクトルOP=ベクトルOR+ベクトルRP=(l+r)(cosθ、 sinθ)+r(cos(θ+π+Φ)、sin(θ+π++Φ))」という部分があるのですが(解答では、Φ=lθ/rと置いています。)、(cos(θ+π+Φ)、sin(θ+π++Φ))はなぜπを足しているのでしょうか。道き出し方を教えていただけるとありがたいです。

gooドクター

A 回答 (2件)

NO1訂正


前半部分
「(初めの接点と、回転後の接点と、円の中心が描く弧の長さは)
Cの方で言うと Lθ
Dの方で言うと rΦ(ただし ΦはDが回転した角度(Φ=∠ORP)」

→ 
これを
「(初めの接点Pと、回転後の接点と、円の中心がつくる扇形で、弧の長さは)
Cの方で言うと Lθ
Dの方で言うと rΦ(ただし ΦはDが回転した角度(Φ=∠ORP:Pは回転後の位置にあるPのこと)」
と訂正して読んでください



中盤部分
「あとは、右へ延びるx水平線(x軸ないしx軸と平行な直線)とRPが時計回りになす角度α'を知りたい!」
      
               ↓

「あとは、Rから右へ延びる水平線(x軸に平行な直線)とRPが反時計回りになす角度α'を知りたい!」
に訂正

さらにちょっとした部分
「Rから延びる水平線からはかって、時計回りにα'の位置にPがあるとみれば
Pは水平線からまずπ回転して、さらにθ回転して さらにΦ回転の位置にあることが分かるはず」

        ↓

「Rから延びる水平線からはかって、反時計回りにα'の位置にPがあるとみれば
Pは水平線から反時計回りにまずπ回転して、さらにθ回転して さらにΦ回転の位置にあることが分かるはず」
に訂正

以上訂正を考慮して読んでみてください・・・
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途中に登場する「図」を自分で正確に書いてみてくださいね!!



公式:扇形の弧の長さ=半径x中心角(ラジアン)
だから
∠ROX(Xはx軸の正方向上の点)=θ となる位置までDが回転したとき
初めの2円の接点から、回転後の接点までのの弧の長さは
(初めの接点と、回転後の接点と、円の中心が描く弧の長さは)
Cの方で言うと Lθ
Dの方で言うと rΦ(ただし ΦはDが回転した角度(Φ=∠ORP)
すべることなく回転なんで これらは等し
Lθ=rΦ⇔Φ=Lθ/r
このような回転角度の位置を図示して考えてみる!

ここで、三角関数の定義を確認・・・テキスト見てみて
すると定義に当てはめ
xy平面上で x軸の正方向から反時計回りに角度αにある動径OP'について
P'の座標は
x座標=OPcosα
y座標=OPsinα
と表せることが分かる
(だからこそ、定義に当てはめて
ベクトルOR=(l+r)(cosθ、 sinθ) と表せる!)

RPについても同様に定義に当てはめればよいわけだが
Rは原点にない でも各点の位置関係が回転しないようにRをOの位置へスライドすればこのことは解決する
あとは、右へ延びるx水平線(x軸ないしx軸と平行な直線)とRPが時計回りになす角度α'を知りたい!
描いた図を見ながら解析すると
スライド前、x軸から角度θの位置にRがあり 
ORから反時計回りにΦの位置に Pがあるのだから
Rから延びる水平線からはかって、時計回りにα'の位置にPがあるとみれば
Pは水平線からまずπ回転して、さらにθ回転して さらにΦ回転の位置にあることが分かるはず
この角度の関係は RをOの位置までスライドした後でも同じ
スライド後PはP''へ移ったとすれば
三角形の定義に当てはめ
P''のx座標=rcosα'=rcos(π+θ+Φ)
P''のy座標=rsinα''=rsin(π+θ+Φ)
このことから
ベクトルOP''=r(cos(π+θ+Φ),sin(π+θ+Φ))
これと平行なベクトルだから
ベクトルRP=r(cos(π+θ+Φ),sin(π+θ+Φ))
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この回答へのお礼

良くわかりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2021/05/10 22:59

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