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「原点Oを中心とし半径aの円Oと、点Cを中心とし半径b(b<a)の円Cが座標平面上にある。円Oの内側を円Cが内接しながら滑ることなく転がるときの円C上の定点Pの軌跡を考える。円O上に定点A(a、0)をとる。点Pが点Aと重なるように円Cを円Oに内接させる。その位置から円Cが回転して∠AOC=θの位置まで移動したときの点Pの座標を(x、y)とする。だだし、角度は弧度法で考える。このとき次の各問いに答えよ。
⑴Pの軌跡の方程式を、θを媒介変数として表せ。
⑵a=4bのとき、Pの軌跡の方程式をa、sinθ、cosθを用いて表せ。」
という問題について

解説において、「ベクトルOP=ベクトルOC+ベクトルCP=(a-b)(cosθ、 sinθ)+b(cos(θ-Φ)、 sin(θ-Φ))」という部分があるのですが、ベクトルCPのCをOの位置に移動して考えると、b(cos(θ-Φ)、 sin(θ-Φ))の部分はb(cos(Φ-θ)、 sin(Φ-θ))になるように思うのですが、なぜb(cos(θ-Φ)、 sin(θ-Φ)になるのでしょうか。

A 回答 (1件)

円Cが回転して∠AOC=θの位置まで移動したときの円Cと円Oの接点をDとします。

円Cは円Oの内側を内接しながら滑ることなく転がるので、弧DAと弧DPの長さが等しいです。これより、円Cの回転した角度Φ=∠DCPで、円Cは時計回りに転がるのでΦはDCより時計回りに測った角です。
θの向きは反時計回りなので、b(cos(θ-Φ)、 sin(θ-Φ))になります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2021/05/12 07:06

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