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問題 2 z 軸上の2点 A:(x, y, z) = (0, 0, d)、B:(x, y, z) = (0, 0, −d) に電気量 q (q > 0) と −q の正負の点電荷 を置く。 真空中の誘電を ε0 として以下の各問に答えよ。
(a) 位置 (x, y, z) における電位を求めよ。ただし、無限遠方を基準点に取る。
(b) 関数
√1 (1) a2 +(b−h)2
を h が十分小さいとして、h = 0 周りでテーラー展開し、h に関して一次まで求めよ。
(c) (a) と (b) の結果を用いて、電位を d が十分小さいとして近似式を求め、それから位置 (x, y, z) における 電場ベクトルを求めよ。

(c)の、「(a) と (b) の結果を用いて、電位を d が十分小さいとして近似式を求め」で、自分が出した答えがあっているか確認したく、できれば途中過程とともに答えをご教授ください。

質問者からの補足コメント

  • qzd/{2πε(x^2+y^2+z^2)^3/2}
    ですぅ

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2021/05/12 01:44
gooドクター

A 回答 (3件)

(a) は


 V(x, y, z) = [q/(4パイε0)]{1/[x^2 + y^2 + (z - d)^2]^(1/2) - 1/[x^2 + y^2 + (z + d)^2]^(1/2)}    ①

(b) のテイラー展開する元の式が不明だが、(a) の結果からすると
 1/√[a^2 + (b - h)^2]
かな?

f(x) = (a^2 + x^2)^(-1/2) として、x=b の周りでテイラー展開すれば
 f(x) = f(b) + f'(b)*(x - b) + (f''(b)/2!)(x - b)^2 + ・・・
   = (a^2 + b^2)^(-1/2) - [b(a^2 + b^2)^(-3/2)](x - b) + (1/2){-(a^2 + b^2)^(-3/2) + 3b^2(a^2 + b^2)^(-5/2)}(x - b)^2 + ・・・

従って、一次項までを使えば
 f(x) = (a^2 + x^2)^(-1/2)
   ≒ (a^2 + b^2)^(-1/2) - [b(a^2 + b^2)^(-3/2)](x - b)
よって
 f(b - h) = [a^2 + (b - h)^2]^(-1/2)
   ≒ (a^2 + b^2)^(-1/2) + [b(a^2 + b^2)^(-3/2)]h
   = (a^2 + b^2 + bh)/(a^2 + b^2)^(3/2)

(c) これを使えば
 1/[x^2 + y^2 + (z - d)^2]^(1/2) ≒ [x^2 + y^2 + z^2 + zd]/(x^2 + y^2 + z^2)^(3/2)
 1/[x^2 + y^2 + (z + d)^2]^(1/2) ≒ [x^2 + y^2 + z^2 - zd]/(x^2 + y^2 + z^2)^(3/2)
なので、①式は

 V(x, y, z) ≒ [q/(4パイε0)]{[x^2 + y^2 + z^2 + zd]/(x^2 + y^2 + z^2)^(3/2) - [x^2 + y^2 + z^2 - zd]/(x^2 + y^2 + z^2)^(3/2)}
= [q/(4パイε0)][2zd]/(x^2 + y^2 + z^2)^(3/2)
= qzd/[(2パイε0)(x^2 + y^2 + z^2)^(3/2)]

同じ計算間違いをしていない限り、合っているように思います。
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(a)電位は重ね合わせで求まるので、


電位 = {1/(4πε)}・Q/r (Q:電荷、r: 距離)を使えば
X=(x、y、z)を使うと
電位 = {1/(4πε)}・{q/|X-A| + q/|X-B|}
= {1/(4πε)}q・[1/√{x^2+y^2+(z-d)^2} - 1/√{x^2+y^2+(z+d)^2}]

(b) は√1 (1) a2 +(b−h)2 は意味不明だけど、多分

f(h) = 1/√(a^2 + 2h) ≒ 1/{a(1 + h/a^2)} ≒ (1/a)(1 - h/a^2)

を使いたいのでしょう。

(c)
|z| >> |d| とすると
z^2 >> |2zd| >> d^2
なので、d^2の項を無視すると
|X|^2 = x^2 + y^2 + z^2 と(b)から

1/√{x^2+y^2+(z-d)^2} ≒ 1/|X| (1 + zd/|X|^2)
1/√{x^2+y^2+(z+d)^2} ≒ 1/|X| (1 - zd/|X|^2)

だから 電位 = {1/(4πε)}q・(2zd/|X|^3)={1/(2πε)}q・(zd/|X|^3)

つまり、電気双極子の電位は距離の3乗で減衰します。
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>自分が出した答えがあっているか確認したく、



だったら、それを書くのがマナーでしょう。
この回答への補足あり
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