教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

nが2以上の整数のとき、
0<x≦1で
Σ[k=0→n]x^k≦n+x^(n+1)
が成り立つことを示せ。

教えてください。

gooドクター

A 回答 (2件)

ああ、まちがい


f'(x)=(n+1)x^n-(1+2x+3x^2+…+nx^(n-1))
={(x^n)-1}+{(x^n)-2x}+{(x^n)-3x^2}+…+{(x^n)-nx^[n-1]}
+ x^n
ですね
それでも結果はいっしょ
先ほど述べた理由で
{(x^n)-1}+{(x^n)-2x}+{(x^n)-3x^2}+…
まではそれぞれの{}ないがマイナス
最後の{}だけ変更して
{2(x^n)-nx^[n-1]}=x^[n-1](2x-n)<0
結局すべての{}はマイナス
f'<0
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この回答へのお礼

なるほど!
ありがとうございました。

お礼日時:2021/05/13 16:22

Σ[k=0→n]x^k=X^0+x^1+x^2+・・・x^n


これは、初項1、公比x、項数n+1の等比数列の和
よって公式利用で
① 0<x<1の場合
Σ[k=0→n]x^k={1(1-x^[n+1])}/(1-x)
=(1-x)(1+x+x²+・・・+x^n)/(1-x)
=(1+x+x²+・・・+x^n)
このことから 左辺と右辺の差を取って比較してみる
{n+x^(n+1)}-(1+x+x²+・・・+x^n)
=f(x)とおく
0<x<1では
f'(x)=(n+1)x^n-(1+2x+3x²+・・・+nx^[n-1])
={(x^n)-1}+{(x^n)-2x}+{(x^n)-3x²}+・・・+{(x^n)-nx^[n-1]}
(代表して{(x^n)-nx^[n-1]の正負を解析
{(x^n)-nx^[n-1]=x^[n-1](x-n)<0
ゆえにf'(x)<0(f(x)は0<x<1では単調減少)
x=1では
f(1)=(n+1)-(1+1+1+・・・+1)
=(n+1)-(1+n)
=0
ゆえに
Σ[k=0→n]x^k≦n+x^(n+1)

②x=1の場合
Σ[k=0→n]x^k=(n+1)=n+x^(n+1)
こちらは簡単!
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この回答へのお礼

f'(x)=(n+1)x^n-(1+2x+3x^2+…+nx^(n-1))
={(x^n)-1}+{(x^n)-2x}+{(x^n)-3x^2}+…+{(x^n)-nx^[n-1]}
+ x^n

になりませんか?

x^nはn個ではなく、n+1個あるので…

お礼日時:2021/05/13 13:08

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