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高校数学1の問題集に、2次関数の最大,最小の単元の問題がございまして、x,yがすべての実数をとるとき、
z=x^2-2xy+2y^2+2x-4y+3について、次の問いに答えよ。
(1) yを定数と考えて、xを動かしたときの最小値mをyで表せ  
(2) (1)のmにおいて、yを動かしたときの最小値を考えることで、zの最小値とそのときのx,yの値を求めよ。
という問題がありました。その答が、
(1)z=x^2-2(y-1)x+2y^2-4y+3
={x-(y-1)}^2-(y-1)^2+2y^2-4y+3
={x-(y-1)}^2+y^2-2y++2
よって、m=y^2-2y+2

と答が載っていたのですが、どうして与式を整理して平方完成したのち、余計に出てきた値と定数項を計算した値が、 yを定数と考えて、xを動かしたときの最小値mをyで表せたことになるのかわかりません。この問題、何を要求しているのか答を見るまでわかりませんでした。与式の左辺のzというのは、与式の右辺ですでにyが使われているから代わりにzという文字で置き換えているという認識で正しいでしょうか? 
(2)にしても、解答は
m=y^2-2y+2=(y-1)^2+1
∴z={x-(y-1)}^2+(y-1)^2+1
{x-(y-1)}^2≧0、(y-1)^2≧0だから
x-(y-1)=0かつy=1すなわち
x=0,y=1のとき、最小値1をとる。

という内容なのですが、y=1はまだしも{x-(y-1)}^2≧0これがx-(y-1)=0という等式となる解答の流れがよくわからず、x-(y-1)=0
y=1を代入するならxにはゼロを代入するしか等式は完成しないという考え方でいいのでしょうか。
最後にもし関数の問題を解くにあたってワンポイントアドバイスなどがございましたらきかせてください。

gooドクター

A 回答 (1件)

>(1) yを定数と考えて、xを動かしたときの最小値mをyで表せ



「y」と書くから「変数」に見えるなら、y を k で書き換えればよい。

z = x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x - 4y + 3
 ↓
z = x^2 - 2kx + 2k^2 + 2x - 4k + 3

変数 x で次数の高い順に整理すれば
 z = x^2 + 2(1 - k)x + 2k^2 - 4k + 3
  = [x + (1 - k)]^2 - (1 - k)^2 + 2k^2 - 4k + 3
  = [x - (A - 1)]^2 - 1 + 2k - k^2 + 2k^2 - 4k + 3
  = [x - (A - 1)]^2 + k^2 - 2k + 2
x が全ての実数で変化するとき、これが最小になるのは
 x = k - 1
のときで、そのときの最初①は
 k^2 - 2k + 2
よって
 m = k^2 - 2k + 2
k を y に戻せば
 m = y^2 - 2y + 2

質問者さんは、「二次関数」の「平方完成」の意味を本当に理解しているのかな?

>与式の左辺のzというのは、与式の右辺ですでにyが使われているから代わりにzという文字で置き換えているという認識で正しいでしょうか? 

いや、問題でそのように与えられているだけのことですよ。
質問者さんがどのような「認識」なのかはどうでもよいですが、そのように認識したければそうすればよいです。間違いではありませんから。

(2) は今度は「y」を固定した定数ではなく、あらためて「変数」と考えるということですよ。
ここでは、もうすべての実数「x」について成り立つものなので、yを変化させたときのことを考えればよいのです。
最終的に、求めた「y の値」に対して「x = y - 1」となる「x の値」を求めればよいだけ。

質問者さんは、なんか「文字づら」にイメージ操作されているみたいですね。
単なる「文字」ですよ。
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この回答へのお礼

詳しい説明大いに役に立ちました。

お礼日時:2021/05/15 21:55

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