数学3の指数関数の極限について質問です

以下のような問題があります。

lim(x → -∞) 4^x + 4^-x+1 / 4^x - 2・4^-x

解答によると、答えは、-2です。

途中式が以下のようになるのですが、この途中式が理解できませんでした。

なぜ以下のような途中式になるか教えていただけませんでしょうか？

lim(x → -∞) 4^x + 4^-x+1 / 4^x - 2・4^-x 　　

＝

im(x → -∞)4^2x + 4/4^2x - 2

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/05/15 14:00

式が読みにくいな...

質問文中の変形が正しいとすると、最初の式は
lim(x→-∞) { 4^x + 4^(-x+1) }/{ 4^x - 2・4^-x } だよね。
括弧が足りなくて
lim(x→-∞) { 4^x + 4^-x + 1 }/{ 4^x - 2・4^-x } に見えるけど。

どっちの式でも、極限が -2 になるのは一緒だけど、
途中の式は別々になる。

質問文の変形は、分子分母の一番大きくなる項に注目して
4^-x で約分すると、下の式になるって話。
約分後の分子分母は 0 でない有限値に収束するから、
lim(x→-∞) { 4^2x + 4 }/{ 4^2x - 2 }
= { 0 + 4 }/{ 0 - 2 }
と計算できる。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/05/15 12:22

4^x + 4^-x+1 / 4^x - 2・4^-x

＝(4^x/4^x)・(4^x + 4^-x+1 / 4^x - 2・4^-x)
={4^x(4^x + 4^-x+1)} / {4^x(4^x - 2・4^-x)}
={4^x・4^x+4^x・4^(-x+1)}/{4^x・4^x+4^x・(-2)4^(-x)}
＝4^2x + 4/4^2x - 2