教えて!gooにおける不適切な投稿への対応について

数列{an}において、
a[1]=1,
a[n+1]=2a[n]-n+3

この数列のa[n]が分かりません。
教えてください。

gooドクター

A 回答 (5件)

○その1


nの1次式が出てきているので、f(x)=ax+bとして
a[n+1]-f(n+1) = 2 ( a[n] -f(n) )の形を目指します。
展開して元の式と比較する事でf(x)が求まるかと思います。

○その2
a[n+2]=2a[n+1]-(n+1)+3
a[n+1]=2a[n] - n +3
------------------
a[n+2]-a[n+1] = 2(a[n+1]-a[n])-1
b[n+1] = 2 b[n] -1

として漸化式を解いていく


この2択になるかと思います
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初期条件を無視した


漸化式だけを満たす数列の一例として、
a[n] = n - 2 があることを発見しよう。 ←ここがキモ
発見は直感でするしかないが、確認は簡単。
左辺 = a[n+1] = (n+1) - 2 = n - 1,
右辺 = 2a[n] - n + 3 = 2(n-2) - n + 3 = n - 1
で確かに成立している。

この a[n] を a0[n] と書くことにすると、
a[n+1] = 2a[n] - n + 3,
a0[n+1] = 2a0[n] - n + 3
を辺々引き算して
a[n+1] - a0[n+1] = 2( a[n] - a0[n] ).
この式は、数列 a[n] - a0[n] が等比数列であることを示している。

初項が a[1] - a0[1] = 1 - (1-2) = 2 であるから、
a[n] - a0[n] = 2・2^(n-1).
よって、
a[n] = 2・2^(n-1) + a0[n] = 2^n + n - 2.
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まずは右辺の -n ってのを何とかしたい、と思わなくちゃいけない。

そこで
  b[n] = a[n] - n
と定義すれば、
  b[n+1] = a[n+1] - (n + 1) = 2a[n] - n + 3 - (n + 1)
   = 2a[n] - 2n + 2 = 2(a[n] - n) + 2 = 2b[n] + 2
 これで、
  b[1] = 0
  b[n+1] = 2b[n] + 2
という数列の話になった。さらに右辺の + 2 を何とかするために
  c[n] = b[n] + 2
と定義すると
  c[n+1] = b[n+1] + 2 = 2b[n] + 4 = 2(b[n] + 2) = 2c[n]
だから
  c[1] = 2
  c[n+1] = 2c[n]
という数列の話になった。これでc[n]がわかるから、c[n]の定義からb[n]がわかり、b[n]の定義から答が出せる、ちうわけ。
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a[n] = 2^n + n - 2

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この手の問題は ”n” の値が一つ増えると、その中の値はどう変わるのかを考える。



とりあえず、
 n=1(a[2])
 n=2(a[3])
 n=3(a[4])
 n=4(a[5])
について値を確認してみましょう。
計算過程で、どのように値が変わるのかを確認するつもりでやってみてください。

・・・

ということで、数字をいじり回すことで解けるなんて思わないように!
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